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2026 届高三全真模拟适应性考试 数 学
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1. 设 ,则 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
2.某校随机抽取了 200 名学生进行成绩调研, 再从这 200 名学生中随机抽取 8 名学生, 得到他们的数学成绩如下:106,110,83,122,75,103,120,81,记这组数据的平均数为 ,则
A. 100 B. 98 C. 101 D. 102
3. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 上一点 作 的垂线，垂足为 ,则直线 的一般式方程为
A. B.
C. D.
4. 对于平面向量 ,设甲: ,则
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
5. 现用 Python 生成随机秘钥，该秘钥共三位，前两位要求从 1，2，3，6，7，8 中进行选择(可以重 复),第三位要求从 中进行选择,则可生成的秘钥数量为
A. 36 B. 72 C. 108 D. 144
6. 已知数列 ,若 ,则正整数 的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知函数 ,若 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知函数 的部分图象如图所示,满足 ,则 的值为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 ,则下列命题为真命题的是
A. B. 的真子集个数为 7
C. D.
10. 在直四棱柱 中,四边形 是菱形, ,则
A. 四棱柱 韵体积为 162
B. 四棱柱 的表面积为
C. 点 到平面 的距离为
D. 直线 与 所成角的余弦值为
11. 下列函数 中，对于任意使得 有意义的 ，始终存在常数 ， ，使得 在区间 上的最大值与最小值之差为 的有
A.
B.
C.
D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 3 与 13 的等差中项是 4 与 的等比中项，则 _____.
13. 已知 的面积为 ，则边 的最小值为_____.
14. 现有一个基于数字变换的游戏. 初始时黑板上写有数字 2 , 每轮游戏会对该数字进行一次独立变换. 每一次变换有 的概率将其擦去并写上原先数字加 1 的数,否则将其擦去并写上原先数字 2 倍的数. 设 轮变换后黑板上的数字为 . 已知在 的前提下,第 1 轮变换前后数字之差为 1 的概率为 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)已知等比数列 满足 .
(1)求 的公比;
(2)求 的前 项和.
16. (本小题满分 15 分)已知椭圆 与双曲线 的离心率之积为 .
(1)求 ；
(2)记 的左顶点为 ，过点 的直线 与 另交于点 ，与 另交于点 ,证明: .
17. (本小题满分 15 分) 斜三棱柱 中， ， ,平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18.(本小题满分 17 分)某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则:先确定挑战权， 挑战权属于某队时, 该队可挑战另外两队中的一队, 且被挑战的队伍获得下一次的挑战权. 已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为 0.5 ，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为0.4、0.6 , 高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为0.4、0.6 .经商定, 高一篮球队获得首次挑战权.
(1)经过 3 次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为 ，求 的分布列及数学期望；
(2)若经过 次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件 、 、 .
( i ) 证明: ;
(ii) 证明: 当 为偶数时, .
19. (本小题满分 17 分)设函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明:函数 在定义域内单调递减；
(3)设 的外接圆直径为 ，且内角 所对的边分别为 . 若在数值上 当且仅当 ,证明: .
2026 届高三全真模拟适应性考试 数学 参考答案、提示及评分细则
1.【答案】B
因为 ,所以复数 在复平面内对应的点为 ,位于第二象限, 故选 B.
2.【答案】A
由题意可得 ,故选 A.
3.【答案】A
把点 坐标代入 的方程可得 ,显然 ,故点 ,于是 ,转化为一般方程为 ,故选 A.
4.【答案】B
对于充分性,当 时甲成立,而乙不一定成立,矛盾,对于必要性, 时 , 成立, 故选 B.
5.【答案】D
由分类加法计数原理知前两位可选取种数为 6 种,由分步乘法计数原理知秘钥数量为 种, 故选 D.
6.【答案】B
此时 ,而 ,且 ,可得正整数 的最小值为 2 , 故选 B.
7.【答案】D
. 而 ,则 时, 单调递减, 时, 单调递增,故 ,于是 ,故选 D.
8.【答案】A
由 得 ,结合函数图象不妨设 ,依题意有 ,则有 ,由 ,结合五点法作图,有 , ,所以 ,结合题意则有 ,故选 A.
9.【答案】BC
,由 , ,作出 Venn 图,如图所示,由图可知, ,故 A 错误, 正确; 集合 的真子集个数为 个,故 正确; 因为 ,所以 错误; 故选 BC.
10.【答案】ABD
对于 ,记棱柱的高为 ,由勾股定理得 ,由 得 是等边三角形,可得 ,于是 ,解得 ,故棱柱的体积 ,故 A 正确; 对于 ,表面积 ,故 B 正确; 对于 ,记点 到平面 的距离为 ,由 得 ,由余弦定理得 ,由 得 ,故 ,故 C 错误; 对于 ,由 知所求角为 的补角,可知余弦值为 ，故 正确；故选 .
11.【答案】BC
题目要求函数在区间 且 上的最值之差等于 . 对于选项 ,函数 的最值之差为 ,若要其等于 ,则必须满足 ,这与任意有意义的 均成立的要求矛盾,故 错误; 对于选项 ,函数 ,令 且 ,当 且 时,由 推导可得 ,因为 ,因此必定存在正实数 ,同理,当 时,由 ,推导可得 ,必定存在正实数 ,当 时显然存在,故 正确; 对于选项 ,函数 ,令 ,当 时,由 ,根据对数函数图象性质易知 ,可知必定存在正实数 ,当 时由 推导可得 ,同理可知必定存在正实数 ,故 C 正确; 对于选项 D,若 ,假设存在满足条件的正实数 与 ,令 ,因为 ,故有 ,由指数函数的单调性可知必有 ,则 ,由于 ,必有 ,进而要求 ,显然不存在,故 D 错误; 故选 BC.
12.【答案】16
由题意可知,等差中项为 ,则由等比中项的性质得 ,解得 ,故答案为 16 .
13.【答案】
由 得 ,由面积得 ,可得 48,由余弦定理得 ,当且仅当 时，等号成立，于是 的最小值为 ，故答案为 .
14.【答案】
因为初始数字为 2 , 故易知 “第 1 轮变换前后数字之差为 1 ”等价于 “第 1 轮执行加 1 变换”. 设该事件为 ,设“ 3 轮变换后 ”为事件 ,列举所有 3 轮变换的路径,满足事件 的路径及其概率分别为: 加 1、加 1、乘 2 概率为 ，加 1、乘 2、乘 2 概率为 ，乘 2、加 1、乘 2 概率为 ，乘 2、 乘 2、加 1 概率为 ,乘 2、乘 2、乘 2 概率为 ,求和得 ,事件 包含前两条路径,其概率 ,易知 ,故由条件概率公式可得 ,整理得 ,解得 或 , 结合 可得 ,故答案为 .
15.(1) 记 的公比为 , 2 分
3 分
两式作比,得 , 4 分
解得 或 . 6 分
(2)记 为 的前 项和,当 时,由 得 ， 8 分此时 . 10 分当 时, , 11 分 13 分
16.(1) 的离心率 ， 的离心率 ， 2 分由题意可得 ,解得 . 4 分
(2)显然 的斜率存在,设 ,设 ,联立 ,得
7 分
可得 ,联立 ,得 , 9 分
可得 ,假设 可得 ,
11 分
故 ,显然 ,得 时, ,矛盾, 14 分 时, ,矛盾; 综上, . 15 分
17.(1)如图，取 中点 ，连接 ，因为 ，
所以 , 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,又因为 平面 ,所以 平面 , 2 分因为 ,所以在 中, ,解得 分所以 ,所以 为直角三角形,所以 ,因为 , 平面 平面 ,所以 平面 ,因为 平面 ,所以 6 分
(2)由(1)可得 平面 ，且 ， 因为 平面 ,所以 ,所以以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系,如图, 7 分所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 , 9 分
因为 ,所以 ,因为 ,所以, ,因为 ,所以解得 , 10 分
设平面 的法向量为 ,所以 ,所以 ,则 ,所以 , 12 分
设平面 的法向量为 ,则 , 13 分
设平面 与平面 的夹角 ,所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
. 15 分
18.(1)随机变量 的可能取值为 1 和 时,第一次高一篮球队挑战高二篮球队,第二次高二篮球队挑战高三篮球队, 第三次高三篮球队挑战高二篮球队, 或者第一次高一篮球队挑战高三篮球队, 第二次高三篮球队挑战高二篮球队, 第三次高二篮球队挑战高三篮球队, 2 分
则 , 3 分
. 4 分
则 的分布列为
1 2
0.36 0.64
5 分则 的数学期望为 . 6 分
(2)(1)若第 次挑战权属于高二篮球队，若第 次挑战权属于高一篮球队，则第 次高一篮球队挑
战高二篮球队,其概率为 ,若第 次挑战权属于高三篮球队,则第 次高三篮球队挑战高二篮球队,其概率为 , 7 分所以 ①, 8 分同理可得 ②, 9 分 ②- ① 得 , 10 分又 ,因此 ,因此 ; 11 分
(II)若第 次挑战权属于高一篮球队，若第 次挑战权属于高二篮球队，则第 次高二篮球队挑战高一篮球队,其概率为 ,若第 次挑战权属于高三篮球队,则第 次高三篮球队挑战高一篮球队,其概率为 , 12 分
所以 ③,①+②,得 , 13 分
由③知 ,又因为 ,从
而有 ,所以 , 15 分
第一次挑战权为高一篮球队,经过一次挑战后,挑战权不是高一篮球队,则 ,故
,则有 是以 为首项, 为公比的等比数列, 16 分
因此, . 当 为偶数时, ,
因此 . 17 分
19.(1) . 设 , 当 时, 且 在区间 上单调递减,又因为 ,故 . 即 恒成立，则 在定义域 内恒成立，故 的单调减区间为 ，无单调递增区间. 4 分 (2) ,且 . 要证明其单调递减， 只需证明 . 由于 ,只需证明分子小于 0,设 . 当 时, ,由于 ,所以 且 ,此时 , ,所以 成立. 当 时,此时 . 要证明 ,只需证明 ,即证明 . 7 分下面证明 时, . 设函数 ,当 时, 在 上单调递增. 又因为 ,所以 时 , 即 ,从而 得证. 因为 ,所以 ,故 ,只需证明 ,等价于证明 ,即 ,此结论已证,故 ,即 ,又因为 ,故 ,即 .
综上,函数 在定义域内单调递减. 10 分
(3)由正弦定理可知，在 中， ， ，代入得 ，即 . 设 ,其中 ,则 当且仅当 ,等价于方程 在 满足 且 时只有唯一解 . 11 分当 时, . 当 时, 单调递增,故 单调递增,由 (1) 可知, 与 均为关于 的正值减函数,则 在 上单调递减,下面证明: 若 ,则必有 . 不妨设 . 当 时,由于 且 在该区间单调递减，故由 ，必有 ；当 时，由于 是 的内角，故 ,即 . 由 在 单调递减,可得 ,又 ,因为 ,所以 ,且 ,有 , 故 . 所以 ,即 ,联立得 , 这与 矛盾,故当 时,当且仅当 时, 成立. 14 分当 时,假设原命题成立,下证矛盾. 因 ,存在 使得 ,此时 . 取 使得 ,则 . 令 ,则 且 . 因 ,且 均为锐角,故 . 只需比较 . 由于 且 , 故 ,即 ,此时有 . 设 , ,则根据零点存在性定理,存在 使得 ,即 . 令 ,则 . 由于 且 ,故 ; 且 ,故 . 这与 “当且仅当 ” 矛盾,故 不成立,综上所述, 的取值范围是 .
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