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高三数学模拟卷一
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知 为实数，虚数 是方程 的根，则 的值为
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
3. 若函数 的定义域为 ,则 “函数 的图象关于点 中心对称” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量 均为实数，且 ，则
A. 25 B. 16 C. 5 D. 4
5. 下图是某城市在 2025 年元月至十月的最低气温(单位:℃)和最高气温(单位:℃)的折线图. 定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温. 若最低气温和最高气温的线性相关系数为 , 最低气温和温差的线性相关系数为 ,则下列说法正确的是
A. ，且 B. ,且
C. ，且 D. ，且
6. 如图，圆柱 的表面积为 ， 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体 为正四面体，则该正四面体的体积为
A. B. C. D.
7. 已知圆 ,若存在 ,使得直线 与圆 有公共点, 则实数 的取值范围是 1
A. B. C. D.
8. 已知函数 若方程 有四个不等的实根 , ,且 ,则下列结论正确的是
A B.
C. D. 的取值范围为
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 至少有两项符合题 目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分)
9. 已知正三角形 的边长为 6,记其面积为 ,取各边中点连接得到新的正三角形 ,记其面积为 ,依此规律,得到一系列正三角形 ,其面积记为 ,设 . 则下列说法正确的有
A. 数列 是首项为 _，公比为 的等比数列
B. 前 3 个正三角形的面积之和为
C. 存在正整数 ,使得
D.
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 函数 有三个零点
B.
C. 曲线 上不同的两点 处的切线分别为 ,若 ,则
D. 若方程 有三个不同的实数根 ,则
11 如图，一张半径为 的圆形纸片的圆心为点 ， 是圆内的一个定点， 是圆 上任意一点， 把纸片折叠使得点 与 重合，折痕 与直线 相交于点 ， 为 的中点， ， 在折痕 上的射影分别为 , ,则
A. B.
C. D.
三、填空题(本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 若 的展开式中二项式系数之和为 32，则展开式中含 项的系数为_____.
13. 若 ，且 ，则 _____.
14. 已知数列 满足 ，对任意不等于 3 的正整数 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的值.
16.(本小题满分 15. 分)
已知函数
(1)设 ，分别讨论函数 与 在 上的单调性；
(2)证明:当 时， .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且 ，点 为棱 的中点,四面体 的外接球 与直线 的另一交点为 .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(本小题满分 17 分)
某班级开展一次卡片抽奖活动, 在一个不透明的箱子中共有 6 张卡片, 其中有 4 张普通卡片, 2 张稀有卡片, 学生随机从箱子中取出一张卡片, 如果取出普通卡片, 则把它放回箱子中; 如果取出稀有卡片,则该稀有卡片不再放回,并且另补一张普通卡片放到箱子中. 重复上述过程 次后,箱子中普通卡片的张数记作 的数学期望记为 .
(1)求随机变量 的分布列；
(2)设 .
(1)用含 的式子表示 ；
(ii) 证明: 是等比数列,并求 .
19. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 ，过右焦点 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点. 设 的中点为 ,且当直线 的斜率为 1 时,点 的坐标为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)直线 上有两点 满足: ，其中 为坐标原点. 已知点 在双曲线 上.
( i )证明:点 也在双曲线 上;
(ii)设点 ，设 的中点为 ，若 的面积的最小值为 5，求 的值.
高三数学模拟卷一参考答案
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C C B D D
1. A 因为集合 ,所以 ,所以 .
2. D 因为 是方程 的根,所以 , 所以 ,又知 为实数,所以 且 ,解得 ,所以 .
3. A 若函数 的图象关于点 中心对称,则 ,
若 的定义域为 ,令 可得 ,
但 不能推出函数 的图象关于点 中心对称,故选 A.
4. C 因为 ,所以 ,得 ,
所以 ,故 .
5. C 由折线图可得, 随着最低气温的升高, 最高气温也升高, 所以最低气温和最高气温成正相关, 故 .
因温差二最高气温一最低气温, 由图知, 随着最低气温不断升高, 最高气温升高幅度相对较小,
故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故 .
由折线图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱，
根据线性相关系数的性质, 值越接近 1,随机变量之间的线性相关程度越强; 值越接近 0,随机变量之间的线性相关程度越弱. 由上分析,可得 .
6. B 连接 ， ，因为四面体 为正四面体，则 ，设 ，则 ， ， 故圆柱 的表面积为 ,解得 . 故 ,故选 B.
7. D 法一:圆心C 到直线的距离为 ,即 ,即 ,依题意,存在 ,使得 成立,故 且 ,也即 ,解得 .
法二:当 变化时,圆 扫过的图形是以原点为圆心,2为半径的圆 ,故若存在 ,使得直线 与圆 有公共点,即直线 与圆 有交点,得 ,解得 .
8. 当 时, ,则 在 上单调递减, ,
当 时, ,则 在 上单调递增, ,即 ,
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ,
利用对数函数与正弦函数的性质,画出 的图象如图所示,
因为方程 有四个不等的实根,所以 的图象与 的图象有四个交点,则 错误;
结合选项 中分析可得 ,所以 ,则 错误; 由正弦函数的性质结合图象可知 与 关于直线 对称，所以 ，C错误；
当 时, ,令 ,得 ,所以 ,
由图知 同增同减,所以 , D 正确. 故选 D.
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得 6 分,部分选对得部分分,选错或不选得 0 分.)
题 号 9 10 11
答 案 ABD BCD BCD
9. 选项 A: 根据正三角形面积公式可得初始面积 ,连接各边中点后,新正三角形边长变为原三角形边长的 ，因此面积变为原面积的 ，即 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. 故 A 正确;
所以 .
选项 B:前3 个正三角形的面积之和为 . 故 B 正确；
选项 C:对任意正整数 ， ，故 C 错误；
选项 D: ,故 D 正确. 故选 ABD.
10. BCD 由 ,得 ,
令 ,得 ,令 ,得 或 ,
所以 在区间 单调递减,在区间 单调递增.
对于 ,因为 ,
所以 在区间 内存在 1 个零点,故 在 上有 2 个零点,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 的图象关于点 中心对称,
令 ,得 ,
又 ,所以 ,故 B 正确;
对于 ,依题意 ,即 ,
所以 ,因为 ,所以 . 故 正确;
对于 ,设 ,
所以 ，所以 为定值，故 正确. 故选 BCD.
11. BCD 对于 ,故 A 错误;
对于 ,在 中, 分别为 的中点,故 ,
如图，延长 交于点 ，
则有 ,故 ,故 正确;
对于 ,设 ,则 ,
则 ，由于点 的轨迹为椭圆，设椭圆长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 ，
则在 中, ,
化简得 ,即 ,所以 ,故 正确;
对于 ,设 的中点为 ,则有 .
,故 . 故 D 正确. 故选 BCD.
三、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分)
12.40 因为二项式系数之和为 ,所以 ,
的展开式的通项为 ,
令 ,得 ,所以 ,则展开式中含 项的系数为 40 .
13. 或 ,所以 ,即 . 或 . 因为 ,得 或 ,即 或 .
14. 由 ,得 ,
得 ，所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
则 ,所以 ,于是 ,
因为二次函数 图象的对称轴为 ,
由题意得, ,解得 ,所以实数 的取值范围是 .
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1)因为 ，
所以由正弦定理得 ,
又因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ;
因为 ,所以 .
由余弦定理得 ,
所以 ,所以 ,
所以 的面积 . 6 分
(2)因为 ，根据正弦定理得 ，
则 ,
又 ,则 ,故 为锐角,
所以 ,
则 .
.
所以 . 13 分
16.(1) ,
令 ,得 ; 令 ,得 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减。 3 分
由 ,得 ,
令 ,得 ; 令 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减。 6 分
(2)因为 ，所以 ，
① 当 时， ，由 (1) 知 在 上单调递增，
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ;
② 当 时，令 ，
则 ,
由( 1 )知 在 上单调递增，所以 ，
所以 ,
所以 在 上单调递减,所以 ,
即当 时, .
综上,当 时, . 15 分
17.(1)证明:因为 平面 , 平面 , 所以 ,
又因为 ,且 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 .
因为 ，点 是 的中点，所以 .
又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 .
由题知,四棱锥 内接于球 ,则必有 四点共圆,又 ,则 ,
即 ,又 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)设 ，由(1)得 平面 ，
因为 平面 ,则 ,所以 ,
化简得 ,解得 ,则 .
又 ,则 ,则 ,又 ,则 .
又由(1)知 都是以 为斜边的直角三角形,
故外接球球 为 的中点.
如图，以 为原点，与 平行的方向，射线 ，射线 分别为 ， ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
因为 ,则 , 0),
由(1)知， 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
又直线 的方向向量为 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.(1)根据题意， 的可能取值为 4,5,6,
即二次抽卡均抽到普通卡片, ,
即二次抽卡恰好拍到一普通一稀有卡片, ,
即二次抽卡均抽到稀有卡片, ,
所以 的分布列为
4 5 6
5 分
(2)(1)设第 次抽卡抽到稀有卡片为事件 ，
则 ,
所以 . 10 分
(1)由(1)及 ， 得，
,
所以 ,又 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,
所以 ,即 . 17 分
19.(1)设直线 ,依题意可知, ,解得 ,
设 ,则 作差并整理得 ,
代入斜率和中点坐标得 ,又 ,可得 ,
故双曲线 的方程为 . 4 分
(2)(1)由题意 ，由点 在双曲线上，得 ，
整理得 ，化简可得 ，
点 ,则
所以点 也在双曲线 上. 9 分
(1) 设 ,
由 在直线 上，以及 可知，
所以点 在直线 上,同理 也在直线 上,
即直线 的方程为 ; 其中 ,故 ,
联立 得 ,
山 ,则 ,
则由(1)可知， ，同理有 ，故 ， ， 三点共线，
因此 ，即 .
联立 整理得 ,
所以 ,故 ,
故 ，当且仅当 时取等号；且 ，
因此 ，
故 ,解得 或 (舍去),
因此 ,即 . 17 分

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