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高二数学试题
2026.5
本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分, 第 I 卷 1-2 页, 第 II 卷 3-4 页, 共 150 分, 测试时间 120 分钟.
注意事项:
选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案, 不能答在测试卷上.
第 I 卷 选择题(共 58 分)
一、选择题(本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.)
1. 已知函数 在 处的导数为 1,则
A. -1 B. C. 1 D. 2
2. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. -78 B. -39 C. 39 D. 78
3. 下列求导正确的是
A. B.
C. D.
4. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量 (单位: t) 与相应的生产能耗 (单位: 标准煤) 的几组数据:
4 5 6 7
标准煤 3.2 3.8 5.3
根据数据可得到的回归方程为 ,则
A. 4.6 B. 4.55 C. 4.5 D. 4.35
5. 敦煌莫高窟的藻井图案具有独特的几何美感. 某藻井图案的构造规则如下:最外层(第 1 层)是一个边长为 4 的正方形, 连接该正方形各边的中点得到第 2 层正方形, 再连接第 2 层正方形各边的中点得到第 3 层正方形..., 以此类推. 则第 6 层正方形的边长为
A. B. C. 1 D.
6. 已知等差数列 的前 项和为 ,则
A. 2 B. 5 C. 7 D. 8
7. 已知等比数列 中, ,函数 ,则
A. 256 B. 512 C. 1024 D. 2048
8. 已知数列 中, ,若 成立,则正整数 的最大值为
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列选项正确的是
A. 若回归方程为 ，则当变量 增加 1 个单位时， 增加 3 个单位
B. 用相关系数 来比较两个模型的拟合效果， 越接近于 1，说明两个变量之间的线性相关性越强
C. 利用 进行独立性检验时， 的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关性越弱
D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为 ,若其中一个散点坐标为 ,则
10. 已知数列 满足 ,则
A.
B. 的前 项和为
C. 的前 99 项和为 99
D. 若数列 满足 ,则 的前 50 项和为 2132
11. 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘 3 再加上 1 ; 若是偶数,就将该数除以 2 . 反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等). 如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ,共需经过 8 个步骤变成 1 (简称为 8 步 “雹程”). 现给出冰雹猜想的递推关系如下: 且 ( 为正整数),设数列 的前 项和为 ,则
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,要经过 12 步雹程使得
D. 若 ，则 所有可能的取值集合为
第 II 卷 非选择题 (共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 如图,函数 的图象在点 处的切线方程是 , 则 _____.
13. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____.
14. 将闭区间 均分为五段,去掉中间的区间段 ,余下的区间段长度之和为 , 再将余下的四个区间分别均分为五段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为 . 以此类推,不断地将余下各个区间均分为五段,并各自去掉中间的区间段. 重复这一过程，记数列 表示第 次操作后余下的区间段长度之和. 则 _____； 若 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是_____. (区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如 的区间段长度为 ).
(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (本小题满分 13 分)
已知数列 的前 项和为 , ,数列 是等差数列,且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16.(本小题满分 15 分)
已知 ，其中 ， 为实数，曲线 在 处的切线方程为
(1)求实数 的值；
(2)若曲线 是曲线 的切线，且 经过点 ，求 的方程.
17. (本小题满分 15 分)
某车企计划在 A 市优化无人快递车的投放量, 为测试运行稳定性, 并确定投放规模, 进行如下调查.
(1)为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了 200 辆进行运行测试，得到部分数据,请完成 列联表,并回答: 有 99% 的把握认为无人快递车故障与是否维保有关吗
维保 未维保 合计
故障 12 40
未故障
合计 120 200
(2)对过去的投放量 (单位:百辆)与服务次数 (单位:万次)的数据进行了统计，得到如下表格:
1 2 3 4 5 6 7
5 13 32 79 200 501 1259
拟用函数模型 或 对两个变量的关系进行拟合. 请问哪个模型更适宜作为投放量 与服务次数 的回归方程模型 (给出判断即可,不必说明理由) 并求出 关于 的回归方程.
参考公式: ,其中 .
参考数据:
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
298.4 1.9 13262 64.4 2
18. (本小题满分 17 分)
已知数列 满足 ,且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
19. (本小题满分 17 分)
已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 ， ，求证: ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 . 若 对 恒成立,求实数 的取值范围.
高二数学试题参考答案
一、选择题(本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)
1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A 7.A 8.D
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. )
9. AB 10. ABD 11. AC
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12.3 13.150 14.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 解: (1) 当 时, , 1 分
当 时, , 3 分
经检验, 时符合上式, 4 分
所以, . 5 分
由上可知, ,
设 的公差为 ,则 , 7 分
所以, ,
即 . 9 分
(2)由(1)得 ，
则数列 的前 项和 为:
11 分
所以,数列 的前 项和 . 13 分
16. 解: (1) , 1 分
由曲线 在点 处的切线方程为 ,
切点为 ,斜率 , 2 分
可得 ,即 , 4 分
,解得 , 6 分
(2)曲线 即为 ,求导得 , 7 分
设曲线与过点 的切线相切于点 ,则切线的斜率 ,
所以切线方程为 , 9 分
即 ,化简为 , 10 分
解得 或 , 13 分
故所求的切线方程为 或 . 15 分
17. 解:(1)补充 列联表如下:
维保 未维保 合计
故障 12 28 40
未故障 108 52 160
合计 120 80 200
2 分
则 , 5 分
有 99% 的把握认为故障与维保有关. 6 分
(2) 适宜作为投放量 与服务次数 的回归方程模型. 7 分
由 ,两边同时取常用对数得 ,
设 ,则 , 8 分
因为 , 10 分
所以 , 12 分
把 代入 ，得 ， 13 分
所以 ,所以 , 14 分
则 ,
故 关于 的回归方程为 . 15 分
18. 解: (1) 因为 ,所以 , 1 分
又 ,所以 , 3 分
是首项为 3,公差为 3 的等差数列,所以 , 4 分
(由等差中项得 是等差数列,相应得分)
由 ,得 , 6 分
所以 是等比数列,首项为 3,公比为 3,所以 , 7 分
所以 的通项公式为 . 8 分
(2) ， 9 分
其中 , 10 分
令 ,
则
得 , 14 分
所以 , 16 分
所以 . 17 分
19. 解: (1) 由 ,两边同除以 得 ,
即 , 1 分
又 ,故 ,所以 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,
解得 , 3 分
. 4 分
(2) 6 分
, 7 分
所以
,即命题得证. 9 分
(3)由(1)知 11 分
数列 的前 项和为:
12 分
将 代入不等式 ,得 , 即 ,
因为 ,所以 ,两边同乘 得: , 13 分令 ,分析其单调性:
15 分
故 在 上单调递减,因此 , 16 分要使 对 恒成立,只需 ,即 ,
所以，实数 的取值范围为 . 17 分

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