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高一数学期中
时量:120 分钟 满分:150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
A. 2 B.
C. 1 D.
3. 已知 是定义在 上的偶函数,且在 上单调递减, ,则不等式 的解集是
A.
B.
C.
D.
4. 已知平面 ，两条不重合的直线 ， ，则“存在直线 ，使 ”是“ ”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，在各棱长都为 1 的平行六面体 中，棱 ， 两两之间的夹角均为 ,则异面直线 与 所成的角为
A. B. C. D.
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后,得到的图象关于 轴对称,则 的一个可能取值为
A. 0 B.
C. D.
7. 已知 ,则
A.
B.
C.
D.
8. 如图 1，“六芒星”是由两个边长为 3 的正三角形组成，中心重合于点 且三组对边分别平行. 如图 2，点 是“六芒星”的两个顶点，动点 在“六芒星”内(包含边界)，则 的取值范围是
图1
图2
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为
B. 的值域为
C. 的单调递减区间为
D. 的图象关于点 对称
10. 已知复数 为虚数单位,则下列说法正确的是
A. 若 互为共轭复数， ，则 的虚部为 -1 的正整正确注.
B. 若 互为共轭复数， ，则
C. 若 互为共轭复数,则
D. 若 ,则
11. 如图，在正方体 中， ，点 是正方形 内的动点 (包含边界),点 为 的中点,则下列结论正确的是
A. 若点 在线段 上，则
B. 若点 在线段 上，则 的最小值为
C. 若点 是线段 的中点,则点 到平面 的距离为
D. 若 ,则点 的轨迹长度为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分
12. 已知二次函数 有且仅有一个零点,则 的最小值为_____.
13. 如图，已知三棱台 的体积为 ，上、下底面边长之比为 1 : 3,若截去三棱锥 ,则剩余部分的体积为_____. (用
表示)
14. 若 ，则 的最小值为_____.
斗、胼答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知函数 ，其中 且 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
16.(本小题满分 15 分)
如图，在 中，已知 为 边的中点.
(1)求 ；
(2)求 .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为直角梯形， 为 的中点, 平面 .
(1)求证: ；
(2)求 与平面 所成角的余弦值
18.(本小题满分 17 分)
如图，已知 的内角 所对的边分别为 ，且 ，动点 在 的外接圆上，且点 和点 位于边 的两侧，连接 已知 。
(1)判断 的形状;
(2)若 ，求四边形 的面积 ；
(3)求 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知正四面体 的棱长为 .
(1)证明: ；
(2)某几何体是由正四面体 按如下规则得到:在每个三角形面上，以各边中点为顶点的小三角形为底面，向外补一个小正四面体记为第 1 次操作;继续以新生的小正四面体各边中点为顶点的小三角形为底面，向外补一个小正四面体记为第 2 次操作；以此类推，如图所示.
(i)求第 3 次操作后几何体的体积；
(ii)现有 次操作后生成的几何体石材，求打磨出的最大球的体积.
高一数学期中参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C B C D C B ACD BC ACD
1. A 因为 ,故 .
2. C 由题意 ,则 .
3. C 由已知 是定义在 上的偶函数,且在 上单调递减,
则函数 在 上单调递增,又 ,所以 ,
即当 时, ,当 或 时, ,
所以不等式 的解集为 .
4. B 如果 ,此时也能找到 且 ,但 并不平行于 ,而是在 内,所以充分性不成立;
根据线面平行的性质定理，如果直线 平行于平面 ，那么过 作一个平面与 相交，交线 就满足 ，且 ，所以必要性成立。
即“存在直线 ,使 是“ 的必要不充分条件.
5. C 如图所示,在平行六面体 中,连接 . 由 , ,得四边形 是平行四边形,则 ,故 或其补角是异面直线 与 所成的角.
由 ,棱 两两之间的夹角均为 ,得 都是正三角形,即 ,则 ,所以异面直线 与 所成的角为 .
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后,
对应的函数解析式为 ,
因为 的图象关于 轴对称,则 ,即 .
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ,
综上, 的一个可能取值为 .
7. C 因为幂函数 在 上单调递增,所以 ,即 , 又因为对数函数 在 上单调递减，所以 ，即 ， 所以 .
8. 如果,作 ,由向量数量积的几何意义可知,当点 与点 或点 重合时, ，而 ,所以 . 由对称性可知 .
所以 的取值范围是 .
9. ACD 因为 ,所以 的最小正周期为 正确; 因为 ,所以 的值域为 , B错误;
的单调递减区间为 , C 正确;
的图象关于点 对称, D 正确. 故选 ACD.
10. 对于 ,则 ,故 的虚部为 -1,故 错误;
对于 ,故 B 正确;
对于 ,设 ,则 ,所以 ,故 正确;
对于 ,取 ,则 ,但 ,故 错误. 故选 BC.
11. 选项 A，当点 在线段 上时，连接 ，在正方形 中，对角线 ，
又 平面 ，所以 ，于是 垂直于平面 内的两条相交直线 和 ， 故 平面 ，而 平面 ，因此 ， 正确；
选项 B，当点 在线段 上时，如图 1 ，将平面 沿直线 翻折，使得 四点共面， 如图 2, 和 均是边长为 的等边三角形,易知 , B错误;
图 1
图 2
选项 C，当点 是线段 中点时，如图 3，设点 到平面 的距离为 ,则 ， 而 ，由余弦定理得
所以 ,所以 ,故 正确;
图 3
图 4
选项 D,如图 4,取 的中点 ,连接 ,
易知 ,则 ,
由 得点 在以 为圆心、 为半径的圆上,点 的轨迹为圆弧 ,
易知 ，所以点 的轨迹长为 。D 正确。故选 ACD.
三、填空题
12. 由题意知, ,
则 ,当且仅当 ,即 时取等号.
13. 由相似可知,三棱台上、下底面的面积之比为119,设棱台的高为 ,上底面的面积为 ,则点 到平面 的距离也是 ，从而 ，则剩余部分的体积为 .
14. 由 得,
由辅助角公式得 , 当 时取等号,其中 ,
所以 ,即 ,解得 ,所以 的最小值为 .
四、解答题
15.(注 2)由 时， ，
则 2 分 , 4 分
当 时, ,
即 时, . 6 分
(2)当 时， 的值域为 ，不符合条件； 9 分
,且 ;
由题意得 ,得 ,
解得 ，即实数 的取值范围为 . 13 分
16.方法一:以 为原点， 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 . 2 分
(1) , 4 分
所以 . 7 分
(2)因为 , 9 分
所以 , 11 分
13 分
则 . 15 分
方法二: (1) 因为 , 2 分
所以 . 7 分
(2)因为 , 8 分
所以 , 10 分
12 分
, 14 分
所以 . 15 分
方法三:(1)在 中，由余弦定理可得，
,即 , 2 分
4 分
所以 . 7 分
(2)在 中，由余弦定理可得， ，
所以 ， 11 分
所以 . 15 分
17.(1)因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 , 3 分
而 平面 ,平面 平面 , 5 分
所以 . 6 分
(2)如图，连接 ， 7 分
因为 平面 平面 ,所以 , 8 分
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 . 9 分
由(1)得 ，且 ，则 ，
所以 平面 ,又 平面 ,所以 . 10 分
因为 为 的中点，且 ，所以 ， 11 分
又 平面 ,所以 平面 , 12 分
所以 是 在平面 内的射影, 为 与平面 所成角. 13 分
由 且 , 为 的中点,得 ,
因为 平面 ,所以 ,故 ,即 ,
又因为 且 ,所以 , 14 分
所以 ，
所以 与平面 所成角的余弦值为 . 15 分
18.(1)由 得 ，
因为 ,所以 , 2 分
所以 ,即 ,所以 ,
所以 为等腰三角形. 5 分
(2)由余弦定理得， ,
, 7 分
所以 ,则 , 8 分
所以 , 9 分
所以 . 10 分
(3)设 ，则 ，
由余弦定理得， ，
所以 ,即 . 12 分
又因为 ,
,
所以 ,解得 , 14 分
所以 ,
所以 , 16 分
故当 时, ,则 的最大值为 . 17 分
19.(1)取 中点 ，由正四面体 知 与 均为正三角形，
故 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,故 . 4 分
(2)(1)设第 次操作后的体积为 ，原四面体的棱长为 ，体积为 ；
第 1 次操作后，新增四个小四面体，其棱长为 ，且新增的体积为 ； 6 分
第 2 次操作后，每个小四面体均新增三个更小的四面体，被长为 ，共增加 12 个，故新增的体积为 ； 7 分
第 3 次操作后，新增 36 个小四面体，棱长为 ，故新增体积为 8 分
因此操作 3 次后的体积为 , 9 分
系正四面体 的体积 ,故 , 10 分
(II)最大球即初始正四面体的中心到各面中位线中点的距离为半径的球。 11 分
过点 作 平面 于点 ,因为四面体 为正四面体,
故 为 外心,即重心,内心,垂心,则 在 上,且 ,
同理得 在 上,且 ,则 为四面体 的外接球球心和内切球球心, 13 分
设 ,则 ,
所以 ,则由 ,解得 , 14 分
所以 ，设点 为 的中点，则 ，
则 ，
次操作后 始终为新生几何体的一个顶点,故 . 15 分
记第 1 次操作后构造的任一正四面体 (即四面体 ) 的外接球球心为 ，连接 . 则 平面 ,设垂足为 ，则 为 的外心，重心，垂心，
故 在 上，且 ,故点 与点 重合,
所以 共线,则 上平面 ,故 .
即以 为球心, 为半径的球,是 次操作后生成的几何体石材打磨出的最大球,
此球体积为 . 17 分

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