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江西省重点中学协作体 2026 届高三第二次联考 数学试卷 2026.5
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则集合 的真子集个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 15 D. 16
2. 设 ，则 的虚部是( )
A. B. c. D.
3. 设 是三个事件，则事件“ 至少有一个发生且 不发生” 可表示为( )
A. B. C. D.
4. 已知正项数列 为等比数列。 ，则 的值为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5. 已知 ，则 在 上的投影向量为_____
A. B. C. D.
6. 1471 年，德国数学家米勒提出了一个经典的几何问题——“米勒问题”，其核心是:在定直线 上找一点 ，使该点对两定点 的张角 最大，该点 称为“米勒点”。已知平面直角坐标系中，定点 ，定直线 的方程为 ，点 是直线 上的动点，则 的最大值为( )
A. B. c. D.
7. 已知一圆台的侧面积为 100π，其内切球半径为 4，则该圆台的表面积为( )
A. 156π B. 160π C. D.
8. 若函数 ，且 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ,则下列不等式成立的是( )
A. B. ， C.
D.
10. 已知数列 的前 项和为 . 且 ，则下列选项中正确的是( )
A. 记数列 ，则数列 的前 项的和小于
B. 记数列 ，则数列 的前 2026 项的和为 2026
C.
D. 数列 的前 项的和为
11. 已知函数 图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为 ，且 恒成立，则下列结论正确的是( )
A. 在区间 上单调递减
B. 在区间 上有两个极值点
C. 直线 与 的图象相切
D. 在 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和为
三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分.
12. 已知函数 ,则 _____.
13. 已知双曲线 的左焦点为 ，焦距为 ，过 的斜率为 的直线与双曲线的右支交于点 ，若 ，其中 为坐标原点，则双曲线 的离心率为_____.
14. 封不同的伯放入 个不同的伯箱，则装有伯的伯箱的个数的期望是_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在 中，角 所对的边分别为 ，其面积为 . 若 .
(1)求 .
(2)若 ，求 .
16. (15分)如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形且 ， 平面 ， ，点 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若点 为 的中点，点 为线段 上任意一点，问:点 在何处时能使得平面 平面 SCD
17. (15分)羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自 2023 年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨。部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了. 我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇抽出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛, 其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球, 但价格却只有天然羽毛球的 60% 到 70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一.某市场调查机构调查了男性和女性各 100 名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的 45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有 50 人.
偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计
男性
女性 50
合计 200
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有 90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关
(2)现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取 10 人，然后从这 10 人中随机抽取 3 人参加有奖问答, 记 3 人中偏好联音球的人数为 ,求 的分布列和数学期望.
(3)若某羽毛球俱乐部的男女比例为 3:2. 将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人， 已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率.
附:
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
18.(17 分)已知椭圆 ，其左、右两焦点分别为 、 ， 为椭圆 的上顶点， 为等边三角形，且 的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知过点 作斜率为 直线 与椭圆 交于 两点,点 在 轴上方,点 关于 轴的对称点为 . (i) 当 与 的面积之比为 2: 1 时,求 的值:
(ii) 证明直线 ’ 过定点.
19.(17 分)已知函数 ，其中 为实数，定义域为 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程:
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明:对任意的正整数 ，都有 .
江西省重点中学协作体2026届高三第二次联考数学 参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 10 分.
1 2 3 4 5 6 7 8
A B A
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9 10 11
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12._____ 13.5
14.
6、【答案】
易知: 当以 为弦的圆与 相切时,切点即为米粉点 . 如图: 以 为弦的圆 与 相切于点 ,此时 最大,作 于点 ,则 ,因为 ,则 ,设 , 由 得: ,解得: ,则 ,又因为 , 所以 ，故 的最大值为 . 故选 .
7、【答案】
如图 1,设圆台上、下底面半径分别为 ,圆心分别为 ,则圆台内切球的球心 一定在 的中点处. 作圆台的轴截面如图 2 所示，设球 与母线切于 点，则 ， 作 于点 ,因为 ,所以 与 全等，所以 ，同理 ，
图 1
图 2
则圆台的母线长 ，又 ，所以 ，解得 ,又因为 ,所以 , 所以 ,故圆台的表面积为 . 故选 .
8、【答案】
, 令 ,易知其在指定范围内单调递增, ,即 , 令 在 ,在 ,故选 C.
11、【答案】BCD
由函数图象的两条相邻对称轴间的距离,得 ,
由 恒成立,得当 时,函数 取得最小值,且 ,
所以 ,所以函数 (或者写成 也可),
若 ，则 ，
因为 在 上不单调,所以 错误:
,若 ,则
则 在区间 上有两个极值点 正确;
,设直线 与 的图象相切于点 ,
则
所以 或 ,
当 时,切点为 ,
将切点代入直线 得 ，则 ，
所以直线 与 的图象相切,切点为 :
当 时,切点为 ,
将切点代入直线 得 ，则整数 无解，不成立: 综上直线 与 的图象相切于点 正确.
函数 的图象关于点 对称,
对于函数 ,由 ,得 ,
则函数 的图象关于点 对称.
由 ，得 ，
在 上,两函数图象有 8 个交点,两两关于点 对称,设这 8 个交点的横坐标分别为 正确.
12、【答案】
,故填 .
13.【答案】5
设双曲线的右焦点为 ,则 ,所以 ,所以 ,所以 ,由双曲线的定义可知: ,故填 5 .
14.【答案】
引入随机变量 ，设 表示第 个值箱有倍， 表示第 个值箱中没有值，其中 ， 则 ,又因为 ,所以
,即装有信的信箱的个数的期望是 ,
故 设: .
四、解答题:本题共5小题, 共77 分.
15.【答案】( 1 ) ( 2 )
( 1 ) ，即有
2 分
,又 . 3 分
,
或 .5 分
当
当 (舍去)
综上: . .7 分
(2)由(1)知，
由正弦定理可得: .9 分
11 分
. 13 分
16.【答案】( 1 ) 平面
又
平面 . 2 分
平面 . 3 分
平面
，点 为 的中点
5 分
平面 . 6 分
(2)不妨设 ，则 ，以 为坐标原点， 所在方向分别为 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则 ,
. 所以 8 分
设 . 则 ,则 , 10 分
所以 ,
设平面 的法向量为 .
则 ,
取 ,则 ,
则 为平面 的一个法向量. 13 分
由(1)可知 为平面 的一个法向量，所以若平面 平面 ，则
,解得 .
所以,当 时平面 平面 . 15 分
17.【答案】(1)
偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计
男性 40 60 100
女性 50 50 100
合计 90 110 200
没有 的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关. 4 分
(2)依题意，
X 的分布列为:
0 1 2 3
1 6
的数学期望为: 9 分
(3)记事件 A 为:抽取的人偏好碳音球:事件 B 为:抽取的人性别为男性
则
由全概率公式得:
则 ,即此人为男性的概率为 . 15 分
18.【答案】( 1 ) ( 2 ) ( 3 )证明见详解
( 1 ) 为等边三角形， ，又 椭圆 的标准方程为 4 分
(2)(i)设 ，则 ，由题可知直线 的方程设为:
联立
①， ② 6 分
由 ③. 7 分
联立①，③得 ，
代入②得: (负值舍去)
. 10 分
(ii) 由 ,则
的直线方程: . 12 分
令 ,则
把①②代入上式得 . 14 分
直线 过定点 15 分
19.【答案】(1) 当 时, ,则
1 分
,
. .2 分
则曲线 在点 处的切线方程为:
整理得: (或写成: ) 4 分
(2)因为 ，所以
令 ,则 ,故
① 当 时， ，而当 时， ，
由零点存在性定理可知, ,使得 .
当 时, 单调递减,故 ,则 在 上单调递减, , 与 恒成立相矛盾,故舍去. .7 分
② 当 时， ，有 ， ，则
令 ，则 ，故 在 上单调递增， 则 在 上单调递增, ,故 在 上单调递增, , 符合题意.
综上,实数 的取值范围是 . 10 分
(3)由(2)知，当 时， ，有 ，即 ， 当且仅当 时等号成立. 11 分
令 ,则有 .
又
14 分
构造函数
在 上单调递增, ,故有 在 上恒成立.
令 ,得
故 .
.17 分

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