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2026 届高三模拟考试 数学试题
2026.05
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 (其中 为虚数单位),则
A. B. 2 C. D. 10
3. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
4. 中国空间站主要由天和核心舱，问天试验舱，梦天试验舱三个舱构成. 某次实验需要 4 名宇航员同时在 3 个舱中开展，每个人只能去 1 个舱，每个舱至少安排 1 名宇航员，其中宇航员甲只能去天和核心舱，则不同的安排方法的种数为
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
5. 已知向量 与 均为非零向量，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 函数 的部分图象大致是
A.
B.
C.
D.
7. 在棱长为 1 的正方体 中, 是棱 的中点, 是正方形 内的动点 (包含边界),且 平面 ,则点 的轨迹长度为
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的焦点分别为 ，且 是抛物线 的焦点,若 是 与 的一个交点, ,则 的方程为
A. B. 或
C. D. 或
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列命题正确的是
A. 随机变量 ,当 最大,则 的取值为 3
B. 以模型 去拟合一组数据时,为求出回归方程,设 ,将其变换后得到线性方程 ,则 的值分别是
C. 已知 关于 的回归方程为 ,则样本数据点 的残差为 2.2
D. 若 ,则事件 相互独立
10. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点 中心对称
C. 的零点构成的集合是
D. 在区间 上单调递减
11. 已知数列 满足 是 的前 项和,则
A. 是等差数列
B. 是等比数列
C. 当 为偶数时,
D. 若 ,则满足 的 的最小值为 64
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 ,且 ,则 展开式中各项系数之和为_____.
13. 过点 作圆 的切线,切点分别为 ,则直线 的方程为_____.
14. 若 , ，则实数 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
在 中,内角 所对的边分别为 . 且 .
(1)求 ；
(2)若 ，记 边上的高为 ，求 的最大值.
16. (15分)
如图，在三棱锥 中， ， 为 在平面 内的投影.
(1)设 ，求 ， 的值；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. (15 分)
为促进销售，某生产商联合商超对定价为 100 元的产品推出“摸奖十闯关”优惠活动. 规则如下:进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张 10 元或 20 元的“基础优惠券”(摸到 10 元“基础优惠券”的概率为 0.6 ，摸到 20 元“基础优惠券”的概率为 0.4 )；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的 20 元“进阶优惠券”. 记消费者答题闯关成功的概率为 . 已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立.
(1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为 (单位:元)，求 的分布列和 ；
(2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的 30%,“进阶优惠券”面额的 50%. 记生产商销售一件该产品的期望利润为 (单位:元),消费者购买该产品的概率为 . 已知 ,商品成本为 41 元.
试求 的最大值及取得最大值时 的值. (结果保留 1 位小数)
注:期望利润=消费者购买概率 (支付金额的期望一商品成本) 一优惠券成本的期望
18.(17分)
已知双曲线 的实轴长为 ，且经过点 .
(1)求 的渐近线方程；
(2)设曲线 ，点 ， 分别是 ， 上的动点，且满足 . . 若原点 到直线 的距离为定值,求 的值.
19. (17 分)
超导量子计算原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵. 帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数 (如指数函数、对数函数等) 进行高效逼近, 可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计, 降低算法的资源消耗和误差积累. 帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法.
给定两个正整数 ，函数 在 处的 阶帕德逼近定义为:
且满足: .
注:
(1)求 在 处的 阶帕德逼近 ；
(2)在(1)的条件下，当 时，试比较 与 的大小，并证明；
(3)已知数列 满足 ，证明: .
2026 届高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1-4. B C A C 5-8. A B D D
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. ABD 10. BC 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.64 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解:(1)由正弦定理得 ， 2 分
化简整理得, . 3 分
由余弦定理得, , 5 分
又因为 ,所以 . 6 分
(2)因为 ，
所以 . 8 分
方法一 由余弦定理知: ,即 . 9 分又 ,当且仅当 时,取 “ ”.
所以, . 11 分
所以, ,故 . 13 分
方法二 由正弦定理知: . 9 分所以, ,
所以, 10 分
. 12 分
又因为 ,
所以,当 时,即 时, . 13 分
16. 解: 方法一
(1) . 1 分
， 2 分
3 分
因为 ,所以 . 4 分
因为 平面 ,所以, .
即 ,
即 , 6 分
解得 . 7 分
(2)由(1)知 ，
所以, . 9 分
所以, . 10 分
11 分
又因为 ,设点 到平面 的距离为 ,
因为 ,所以, , 12 分
解得 . 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 . 15 分
方法二 (1)因为 ,所以 .
以 为坐标原点,直线 分别为 轴, 轴,过 且平行于 的直线为 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.
则 . 1 分
设点 ,在 中,由余弦定理知:
又因为 ,
所以, 3 分
解得: ,即 . 4 分
所以, . 5 分
又因为
所以, , 6 分
即: ,解得 . 7 分
(2)因为 ，所以， . 9 分
设平面 的一个法向量 ,则 10 分
即 ,令 ,解得: .
所以, . 12 分
设直线 与平面 所成角为 与 所成的角为 ,因为 ,
所以, , 14 分
因为 ,所以 . 15 分
17. 解: (1) 由题可知, 的可能取值为90,80,70,60. 1 分
所以, ,
5 分
的分布列为:
90 80 70 60
0.6p 0.4p
方法一 所以, . 7 分
方法二 . 7 分
(2)方法一 记优惠券成本为 ，则 的可能取值为3,6,13,16.
且 ,
8 分
9 分
方法二 . 9 分所以, . 11 分
所以, ,令 ,解得 . 13 分
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减;
所以 在 内存在唯一极大值点 . 14 分
又 ,
所以当 时,生产商期望利润最大,最大期望利润约为 6.7 元. 15 分
18. 解: (1) 由题意得 ,且 , 2 分
解得 . 3 分
所以, 的方程为 的渐近线方程为 . 5 分
(2)显然直线 的斜率一定存在，设直线 的斜率为 ，原点 到直线 的距离为 ,
因为 ,所以 . 6 分
① 若 ，联立 ，得 ，
所以 . 8 分
直线 的斜率为 ,联立 ,得 ,
所以 . 10 分
所以 . 11 分
又因为 ,
所以, 13 分令 ,所以 .
当且仅当 ,且 时成立,
所以 ,此时 . 15 分
② 当 时，若 ，则直线 的斜率不存在， ， ， ，
所以, .
综上可知, 时,原点 到直线 的距离为定值. 17 分
19. 解: (1) 设 在 处的 阶帕德逼近 , 1 分所以, . 2 分
又 ,
所以， . 3 分
又 ,
4 分
所以, . 5 分
(2)当 时,令 , 6 分
则
所以,函数 在 上单调递增. 8 分
所以, . 故当 时, . 9 分
(3)因为 ，则 ，所以 .
若 ,则 ,即 . 10 分
由( 2 )知，当 时， ，
当 时,则 . 11 分
因为 ,则 ,又 ,
所以 ,即 ,
故数列 是递减数列,所以 . 12 分
又因为当 时, ,
所以 , 13 分
所以 , 14 分
故当 时, ,
累加得 ,
所以 , 15 分
故 . 16 分
又当 时， .
综上, . 17 分
(2)当 时,令 , 6 分
则
所以,函数 在 上单调递增. 8 分
所以, . 故当 时, . 9 分
(3)因为 ，则 ，所以 .
若 ,则 ,即 . 10 分
由( 2 )知，当 时， ，
当 时,则 . 11 分
因为 ,则 ,又 ,
所以 ,即 ,
故数列 是递减数列,所以 . 12 分
又因为当 时, ,
所以 , 13 分
所以 , 14 分
故当 时, ,
累加得 ,
所以 , 15 分
故 . 16 分
又当 时, .
综上, . 17 分

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