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浙江金华市义乌市2026年5月普通高中适应性考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知全集，若，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
4.设复数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.的二项展开式中系数最大的项为( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项和第项
6.已知，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知各棱长均为的四面体可以在一个圆柱体内任意转动，则该圆柱的高的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两个平面，，是两条直线，则下列命题不正确的是( )
A. 若，，则 B. 若， ，则
C. 若，，，则 D. 若，， ，则
10.已知函数不同时为在处取得最值，则下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为 B. 函数关于对称
C. 函数关于点成中心对称 D. 函数在上单调
11.定义：对于实数数列，若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“半周期数列”，正整数称为该数列的一个半周期．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若是公差为的等差数列，则“是半周期数列”是“”的必要不充分条件
B. 若是公比为的等比数列，则“是半周期数列”的充要条件是“”
C. “对所有成立”的必要不充分条件是“不是半周期数列”
D. 若为正整数，则“数列的最小半周期为”的充要条件是“为偶数”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为 ．
13.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，点在第一象限，若，则直线的斜率为 ．
14.独立重复抛掷一枚质地均匀硬币，每次抛出正面和反面的概率均为，抛掷过程中记录累计正面次数和反面次数初始规定：抛掷过程中，若出现以下两种情况之一时，停止抛掷：
累计正面次数满足，此时判定正面获胜；
累计反面次数满足，此时判定反面获胜．
若已知第一次抛掷的结果为正面，则抛掷停止时正面获胜的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，的面积为，为的中点，求的长度．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，已知为正三角形，四边形为直角梯形，平面平面，，为中点．
证明：平面；
求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
年中央广播电视总台春节联欢晚会设立义乌分会场，向全球展现了“世界小商品之都”的商贸活力与新春年味．某机构为研究观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关，从观看了义乌分会场节目的观众中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
对节目基本满意 对节目特别满意 合计
不了解义乌小商品市场
了解义乌小商品市场
合计
依据小概率值的独立性检验，分析观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关；
节目组设置了摸“义乌小商品盲盒”游戏环节，观众每次游戏有两种结果：
摸到“一锤定音”，概率为，此时观众获得元奖金，游戏结束；
摸到“再接再厉”，概率为，此时观众获得元奖金，并继续游戏，奖金累计计入总奖金；
若一名观众参与游戏最多可摸次，次均未摸到“一锤定音”，游戏也结束．求游戏结束时该观众获得的总奖金数的均值．
附：，其中
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，为椭圆上的动点，是直线上的两个不同点，直线的斜率分别为，且原点到直线的距离均为．
求椭圆的标准方程；
证明：
求周长的最小值．
19.本小题分
已知函数
当时，讨论函数的单调性；
当时，函数有三个极值点．
证明：存在直线，与曲线切于点；
试判断过点可以作曲线的几条切线？并说明理由．
参考答案
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14.
15.解：解：方法：，
，
，
，，，；
方法：由射影定理，对任意，有，
代入题干条件得，因为，所以，
又，故．
解：由三角形面积公式：代入，
解得．
由余弦定理，代得：，
因为为中点，由向量中线公式：，
两边平方得：，
因此．

16.解：因为是边长为的正三角形，
为中点，所以．
平面平面，交线为平面，
平面．
因为平面，所以．
在直角梯形中：，，
，
，
因此，．
又，且平面，
平面；
以为原点，建立如图空间直角坐标系，
易得，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得．
又，．
设平面的一个法向量为，
则
令，解得．
设平面与平面所成夹角为，
则．

17.解：零假设：观众对节目的满意度与了解义乌小商品市场无关，
计算，
依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，
认为观众对义乌分会场节目的满意度与了解义乌小商品市场有关，
此推断犯错误的概率不超过；
方法：奖金总数，
，其中，，
因此，
即，
，
两式相减得，
，
于是，
所以游戏结束时该观众获得的总奖金数的均值为：．
方法：设为剩余最多次抽奖机会时，获得的累计奖金期望，
则，即，，
因此，而，
则，当时，，
所以游戏结束时该观众获得的总奖金数的均值为．

18.解：，，
因此椭圆的标准方程为：．
直线，即，
原点到直线距离为，由点到直线距离公式：；
平方整理得：，
同理：，
、是方程两根，由韦达定理得：．
，
，
同理：，，
，由可得；，
同理：，
，，
，
，，，
令，，设，
，在单调递减，
的周长的最小值为．

19.解：当时，的定义域为，
则，
若，则，可知在上单调递增；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在上单调递增；
若，在内单调递增，在内单调递减．
时，则的定义域为，
且，
设，，可知有个变号零点，且不为，
因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
且当趋近于或时，趋近于，
则，可得，
此时存在，，，且是方程的两根，
则，可得和，
则，且，
；
点、处的切线方程均为，
所以存在直线：与曲线切于点，；
设切点，
则，，
可得切线方程为，
代入点得：，
整理可得，
设，，可得，
因为，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减．
若，则，由可知：；
若，则，由可知：；
此时切线均为；
若，则，
设，，则，
因为，则，，可得，
可知在内单调递增，
且，，
所以存在唯一的，使得，取，符合题意；
综上所述，过点可以作曲线的两条切线．

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