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高二数学
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑; 非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 下面给出三个随机变量:
①某地 110 报警台 1 分钟内接到的求救电话的次数 ；
②某森林树木的高度在 (单位: )这一范围内变化，测得某一树木的高度 ；
③某人射击 2 次，击中目标的环数之和 . 其中离散型随机变量有
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
2. 设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则
A.0.1 B. 0.2 C. 0.4 D.0.9
3. 若随机变量 的分布如下表:
E -2 -1 1 2 3
0.2 0.1 0.25
则 的值为
A. 0.3 B.0.4 C. 0.55 D. 0.85
4. 甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用 7 局 4 胜制(先胜 4 局者获胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ,则甲第一局获胜并最终以 4:1 获胜的概率为
A. B. C. D.
5. 如图,某社区为墙面 四个区域进行涂色装饰,每个区域涂一种颜色,相邻区域(有公共边) 不能用同一种颜色,若只有四种颜色可供使用,则恰好使用了 3 种颜色的涂色方法共有
A B
C D
A. 12 种 B. 24 种 C. 48 种 D. 84 种
6. 已知 ,且 ,则 等于
A. 8 B. 0 C. 4 D. -8
7. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知随机变量 满足两点分布,且 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 小明和小强等 6 位同学去电影院观影, 已知电影院一排有 6 个位置, 若这 6 位同学坐在一 排,则
A. 不同的坐法有 720 种
B. 若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有 240 种
C. 若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有 240 种
D. 若小明在小强的左边，则不同的坐法有 300 种
10. 椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，直线 与 的另一个交点为 ,若 ,则
A. 的短轴长为 B. 的焦距为 2
C. 的周长为 8 D. 的离心率为
11. 某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满 100 元即可获得一次抽奖机会. 已知顾客第一次抽奖的中奖概率为 ,从第二次抽奖开始,若前一次没有中奖,则这次抽奖的中奖概率为 ,若前一次中奖,则这次抽奖的中奖概率为 . 记顾客第 次抽奖的中奖概率为 ,则
A. B. 某顾客消费 200 元，则其中奖概率为
C. 的最大值为 D. 当 时, 越大, 越小
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城 2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部,则不同的选法有_____种.
13. 在直三棱柱 中,已知 ,则异面直线 与 所成角的余弦值为_____.
14. 已知随机事件 互相独立，且满足 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 的展开式中，第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为 2:1.
(1)求 的值；
(2)求展开式中含 的项的二项式系数.
16.(本小题满分 15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17. (本小题满分 15 分)
研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒. 某医学研究小组为了解 20-30 岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在 4 月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样,得到如下 列联表.
性别 健康状况
感冒 不感冒
男 8 14
女 4 24
(1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机选取 3 人访谈，记参与访谈的男性人数为 ，求 的分布列和期望 ；
(2)依上表，依据小概率值 的 独立性检验，分析了20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关
参考数据: 参考公式: ,其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
。 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18. (本小题满分 17 分)
乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长. 该工坊为了科学规划生产，统计了 2021-2025 年油纸伞的销量数据如下表:
年份 /年 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
销量 /万把 7 8 10 11 14
(1)统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过 20 万把；
(2)已知该工坊 2023 年售出的油纸伞中，有 6 万把通过线上售出，用频率估计概率，现从 2023 年售出的油纸伞中随机抽取 3 把,求其中线上售出数量 的分布列.
附: 为回归直线方程, .
19. (本小题满分 17 分)
为促进消费, 某电商平台和生产商在本周联合推出 “有奖闯关” 活动. 活动规则如下: 消费者成功闯过第一关获得基础券 (获得 10 元基础券的概率为 0.6 , 获得 20 元基础券的概率为 0.4). 闯过第一关后, 可进行第二关闯关, 成功闯过第二关后可获得进阶券 20 元, 且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额. 已知消费者闯过第一关的概率为 ，闯过第二关的概率为 . 某生产商将商品定价 100 元，成本 41 元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的 30%，进阶券面额的 50%.
(1)若 ， ，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为 (单位:元)，求 的分布列和数学期望 ;
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为 ，记生产商销售一件该商品的期望利润为 (单位:元).
附:期望利润=购买概率 (支付金额的期望一商品成本)一优惠券成本的期望.
(i) 求 关于 的函数表达式;
(ii) 证明: 在 内存在唯一极大值点,并求当 为何值时,商家期望利润 最大 最大期望利润是多少 (结果保留 1 位小数)
高二数学 参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D B A C A
题号 7 8 9 10 11
答案 B A AB BC AC
1.C 由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，故均为离散型随机变量, 而②中的随机变量可以取 (0,50 ]内的任意值, 无法一一列举, 故它不是离散型随机变量. 故选 C.
2. D 下随机变量 服从正态分布 .
3. B ,解得 ,故选 B.
4. A 甲第一局获胜并最终以 4:1 获胜, 说明甲、乙两人在 5 局比赛中, 甲胜了 4 局, 输了 1 局, 并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局,故概率为: . 故选 A.
5. C 由条件可知,可以分成只有 和 颜色相同,及只有 和 颜色相同两种情况,若只有 和 颜色相同,则有 种方法,只有 和 颜色相同,也有 24 种方法,所以一共有 种方法. 故选 C.
6. A 令 ,则 ,令 ,则 ,作差可得 . 故选 A.
7. 由题意知 ,因为函数 在 上单调递增,所以 恒成立,即 在区间 上恒成立. 令 ,则 ,当 时, ,所以 ,因此 在 上单调递增,则 ,所以 . 故选 B.
8. A 当 时,得 ,则 ,充分性成立; 反之, ,即 ,解得 或 ,必要性不成立. 故选 A.
9. 对于 中,不同的坐法有 种,所以 正确; 对于 中,若小明和小强要一起坐,则不同的坐法有 种,所以 正确; 对于 中,若小明和小强不坐在一起,则不同的坐法有 种,所以 错误; 对于 中,若小明在小强的左边,则不同的坐法有 种,所以 错误. 故选 AB.
10. 由图知, ,因 ,则 是正三角形,又 ,则 ,故椭圆的离心率为 ,故 错误;
由椭圆 可得 ,则 ,由 可得 ,解得 ,故椭圆 的短轴长为 ，故 A 错误；
焦距为 ，故 B 正确； 的周长为 ，故 C 正确. 故选 BC.
11. 对于 : 由题意可得 ,所以 , A 正确;
对于 B: 第一次未中奖的概率为 ,在第一次未中奖的条件下,第二次也未中奖的概率为 ,因此,两次均未中奖的概率为 ,由对立事件的概率可得其中奖概率为: , B 错误;
对于 : 由 得 ,所以 是等比数列,首项为 ,公比为 ,所以 . 当 为奇数时, ; 当 为偶数时, 随 增大而减小,当 时取得最大值 ,综上, 的最大值为 正确;
对于 : 当 为奇数时, ,随 的增大而增大; 当 为偶数时, 随 增大而减小, D 错误; 故选 AC.
12.64 由题意每个人都有 4 种选法,故不同的选法有 种.
13. 作 ,因为 ,所以 是 的中点,过 作 ,由直三棱柱性质得 面 ,如图,作出符合题意的图形,以 为原点建立空间直角坐标系,
因为 ,所以 ,由勾股定理得 ,则 , ,可得 ,设异面直线 与 所成角为 , 则 .
14. 因为 互相独立,所以 . 又因为 ,把 代入可得: ,故 . 由 相互独立,得 .
15. 解: (1) 第 4 项的二项式系数为 ,第 3 项的二项式系数为 .
又第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为 2:1,
, (3 分)
,故 的值为 8 . (7 分)
(2)因 , (9 分)
由 解得 , (11 分)
故展开式中含 的项的二项式系数为 . (13 分)
16. 解: (1)设等差数列 的首项为 ,公差为 ,
则 ,解得 , (6 分)
因此通项公式为 . (7 分)
(2)将 代入 ，裂项得 ， (11 分)
所以 .
即 . (15 分)
17. 解:(1)样本中感冒的男性有 8 人，女性有 4 人，比例为 2:1，按照性别采用分层抽样的方法抽取 6 人，则抽取男性 4 人，女性 2 人，随机变量 的所有取值为 1,2,3, (1 分)
(3 分)
(5 分)
(7 分)
所以 的分布列为:
1 2 3
所以 . (8 分)
(2)提出零假设 岁年轻人的体质健康与性别无关，
根据列联表中的数据,得到 , (12 分)
因为 ,不能拒绝零假设 ,
所以没有 的把握认为 20-30 岁年轻人的体质健康与性别有关. (15 分)
18. 解: (1) , (2 分)
(3 分)
(4 分)
(6 分)
所以 关于 的线性回归方程为 ; (7 分)
当 ,
所以预测该工坊油纸伞的销量最早在 2029 年能超过 20 万把. (8 分)
(2)该工坊 2023 年售出的油纸伞中，有 6 万把通过线上售出，用频率估计概率，
所以 2023 年售出的油纸伞中,通过线上售出的概率为 , (9 分)
由题意可知: , (10 分)
所以 ,
(13 分)
(16 分)
所以其中线上售出数量 的分布列为:
0 1 2 3
2 25 36 125 54 27 125
(17 分)
19. 解: (1) 实际支付金额的所有可能取值为60,70,80,90,100,
(1 分)
,
(2 分)
(3 分)
的分布列为:
60 70 80 90 100
0.16 0.24 0.16 0.24 0.2
(4 分)
(2)(i)已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算:
支付金额期望: , (5 分)
商品成本 , (6 分)
优惠券成本期望:基础券成本=(10×0.6÷20×0.4)×30%=4.2，
进阶券成本 ,
总成本期望 , (9 分)
购买概率 ,
代入公式: (11 分)
(ii) 对 求导得: ,
令 ,整理得 ,解得根为 (舍去,不在 内),
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减; (14 分)
因此 在 内存在唯一极大值点 ，且该点为最大值点，
所以最大期望利润: . (17 分)

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