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2025-2026 学年第二学期期中考试
盐田高级中学高二数学试题卷
考试时间:120 分钟 分数:150 分
一、单选题:
1. 若 ,则()
A. 均为真命题 B. 均为假命题
C. 均为真命题 D. 均为假命题
2. 设一组样本数据 的方差为 3,则数据 的方差为 ( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 32
3. 已知变量 与 线性相关,现收集了 5 组样本数据如下表.
1 2 3 4 5
10 15 19 23 28
根据上表可得线性回归方程为 ,则 ()
A. 4 B. 4.4 C. 4.5 D. 5
4. 某班级要从 3 名男生和 2 名女生中选取 2 位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有( )种.
A. 7 B. 10 C. 14 D. 16
5. 设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 32 B. 24 C. 36 D. 108
6. 一批笔记本电脑共有 10 台，其中 品牌3 台， 品牌7 台. 如果从中随机挑选 2 台，设这 2 台电脑中 品牌的台数为 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 下列说法中不正确的是( )
A. 一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为 51
B. 在成对样本数据分析中相关系数 ，表示两个变量之间没有线性相关关系
C. 根据线性回归方程得到预测值为 时的观测值为 34，则残差为 0.009
D. 将总体划分为两层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为 和 , 若 ,则总体方差
8. 已知函数 ,若函数 有 4 个不同的零点则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是( )
A. 若随机变量 ,则
B. 设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则
C. 对于随机事件 与 ,若 ,则事件 与 相互独立
D. 一箱苹果共有 10 个,其中有 个烂苹果,从这箱苹果中随机抽取 2 个,恰有一个烂苹果的概率为 ,则
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合,点 是这两条曲线的一个公共点,则 ( )
A. 双曲线 的渐近线方程为 B.
C. 的面积为 D.
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 在 内(含边界)且 ，则以下结论正确的是( )
A. 异面直线 与 所成的角是
B. 与平面 所成的线面角的正切值为
C. 点 的运动轨迹长度为
D. 点 到平面 距离的取值范围是
三、填空题
12. 若 的展开式中二项式系数之和为 32,则展开式中 的系数为_____.
13. 直线 与圆 交于 两点，若 ，则 _____.
14. 已知数列 的通项公式是 ,设 ,则 _____.
四、解答题
15. 随着科技的进步，人工智能(AI)工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek 等常见的 AI 工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率. 某公司为了解员工使用这类 AI 工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表:
能够熟练使用 AI 工具 不能够熟练使用 AI 工具
男员工 30 15
女员工 16 9
(1)根据 的独立性检验，能否认为性别与使用 AI 工具的熟练度具有相关性
(2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取 12 人，再从这 12 人中随机抽取 3 人， 记其中不能够熟练使用 AI 工具的人数为 ,求 的分布列以及数学期望.
附: ，其中 .
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的正弦值；
18. 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 上有且仅有 2 个零点，求 的取值范围.
(3)对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
19. 已知椭圆 的左顶点 ，上顶点 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)过点 的直线 交 于 两个不同的点 (其中,点 在第二象限),直线 分别交 轴于 两个不同的点， 点， 点分别在线段 ， 上.
(i) 证明: 的横坐标之和是定值;
(ii) 已知当直线 的斜率为 时, 的面积为 ,求此时 与 的面积之和.
2025-2026 学年第二学期期中考试数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A D D B BC BC
题号 11
答案 BCD
1. C
若 ,则命题 不成立,则 为假命题,故 为真命题; 若 ,则 ,则命题 为真命题.
2. C
因为样本数据 的方差为 3,所以由方差的性质可知,数据 , 的方差为 .
3. B
由表格得 ,将样本中心 代入线性回归方程得, .
4. C
由题可得, 至少有一名女生被选中的不同选法有 2 种情况, 一男一女, 两女, 所以共 种,
5. A
设等比数列的公比为 . 若 ,则 ,
故 ,所以 ,
故 .
6. D
依题意, 的可能值有0,1,2.
则 .
则 的分布列为:
0 1 2
7 15 7 15
可得
7. D
对于 ,下四分位数为 正确;
对于 ,相关系数 的含义是两个变量没有线性相关关系,但可能存在非线性关系, 正确;
对于 ,残差 正确;
对于 ,分层抽样的总体方差不仅与各层样本方差有关,还与各层的样本量和层间均值差异有关,即使 ,总体方差也不等于 ,还需要考虑各层的样本量权重, D 不正确.
8. B
由题当 时, ,所以 ,所以当 时, ,当 时, ; 所以 在区间 上单调递增,在 上单调递减, 当 时 ,当 时, ; 当 时, ;
所以可作出函数的图象, 如下图,
若要使函数 有 4 个不同的零点,
所以 的图象与直线 有 4 个交点,
即 ,解得 .
9.
对于 选项,由 ,可得 ,故 选项错误;
对于 选项,由 ,故 B 选项正确;
对于 选项,由 可得 ,可得事件 与 相互独立,故 选项正确;
对于 选项,由 ,解得 或 6,故 选项错误.
由已知,抛物线的焦点坐标为 ,所以双曲线右焦点 ,即 .
又 ，所以 ，所以双曲线的方程为 .
对于 项，双曲线 的渐近线方程为 ，故 项错误；
对于 项，联立双曲线与抛物线的方程 整理可得， ，
解得 或 (舍去负值),所以 ,代入 可得, .
设 ，又 ，所以 ，故 项正确；
对于 项，易知 ，故 项正确； 对于 项，因为 ， 所以,由余弦定理可得, ,故 D 项错误.
11. BCD
对于 ,在正方体中易知 且 ,所以异面直线 与 所成的角即 或其补角,显然 ,即 错误;
连接 ,易知 ,又 平面 ,所以 平面 ,
而 平面 ,所以 ,同理可知 ,即 平面 ,设垂足为 ,取 的中点 ,连接 ,则 ,所以 ,
连接 ,由勾股定理可知 ,
对于 ,易知 与平面 所成的角为 ,故 正确;
对于 ,由三棱锥 为正三棱锥可知 为该正三角形的中心,
则 三点共线, ,
所以 点轨迹为以 为圆心, 为半径的圆上,该圆即正三角形 的内切圆,
所以点 的运动轨迹长度为 ，故 正确；
对于 ,假设 的轨迹圆与 交于 点,由上可知 ,
而 到底面 的距离为 2,所以 到底面 的距离为 ,
由图形可知点 到平面 距离的取值范围是 ,故 正确.
12. 40
二项式系数之和为 ,所以 ,因为 的展开式的通项公式为: ,当 时,所以 , 则展开式中 的系数为 40 .
13. 1 或 -1
由 ,得 ,所以圆心 ,半径 , 则圆心 到直线 的距离 ,又 ,解得 . 14.
,则 ,
又 ,所以 ,
则 .
15.(1)性别与使用 AI 工具的熟练度无关;
(2)
0 1 2 3
14 55 28 55 12 5 5 5
数学期望为 1 .
(1)设零假设 : 性别与使用 AI 工具的熟练度无关， ——1 分
由统计表得 ,
则, 一一4 分
根据小概率值 的 独立性检验,没有充分证据推断 不成立,
所以可以认为 成立,即认为性别与使用 AI 工具的熟练度无关. 一5 分
(2)男员工中能够熟练与不能够熟练使用 AI 的人数比为 ，
按分层抽样抽 12 人，抽取的能够熟练使用的人数为 ，抽取的不能够熟练使用的人数为 4, — 6 分因此 的可能取值为0,1,2,3, 一一7 分
—11 分
所以 的分布列为:
0 1 2 3
14 55 28 55
-12分
数学期望 . -13 分
16. (1)
(1)由 ，当 时， ， 一一1 分
则 ,即 , -3分
所以 ,即 , 一5 分
由数列 为正项数列,所以 ,从而有 , —6 分
所以数列 是以 为首项,1为公差的等差数列,所以 . -7 分
(2)由(1)知 , 一8 分
所以 ,
一一9 分
则 , 分
从而 , 一一11 分
即 分所以 . -15 分
17. (1)证明见解析(2) (i) (ii) 存在,
( 1 )取 中点 ，连接 ，一一1 分
因为 为 中点,所以 ,且 分
又 ,所以 ,
所以四边形 为平行四边形,即 ,一5 分
又 平面 平面 ,所以 平面 一一 7 分
(2)因为 平面 ，且 ，
以点 为原点，建立如图所示空间直角坐标系:_____8 分
则 ,
所以 ， -9 分
因为 平面 平面 ,
所以平面 平面 ,
又因为平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,所以平面 的一个法向量为 分
设平面 的法向量为 ,则
不妨取 ,则 , —13 分
则 ,
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ; —15 分
18. (1)当 时,函数 的单调递增区间为 ; 当 时,函数 的单调递增区间为 , 单调递减区间为
(1) 因为 ,则 , 分
当 时， ，所以 在 上单调递增； ——2 分
当 时,由 ,得 ,
若 ,则 ; 若 ,则 .
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . -4 分
综上所述,当 时,函数 的单调递增区间为 ;
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . ——5 分
(2)当 时，由 可得 ， ——6 分令 ,其中 ,则直线 与函数 在 上的图象有两个交点.—7 分 ,当 时, ,此时函数 单调递增.
当 时, ,此时函数 单调递减.
所以函数 的极大值为 , -9 分
且 在 的图象如图所示.
由图可知,当 时, 直线 与函数 在 上的图象有两个交点,因此,实数 的取值范围是 . 一11 分
(3)由 ，得 恒成立，移项 ，得 恒成立.
-13 分
构造函数 ,所以 恒成立. 又 在定义域内单调递增,一 14 分
有 在 内恒成立, 恒成立,即 分
由(2)可知 最大值为 ,所以 . -1 分
19. (1) (i) 证明见解析; (ii) .
(1) 由椭圆 的左顶点 ,上顶点 ,得 , 所以椭圆 的方程为 . -2 分
(2)(i)当过点 的直线斜率不存在时，直线与椭圆 只有 1 个交点，即左顶点 ，不合题意，
所以直线 的斜率存在; 设直线 的方程为 ,设 分
由 ,消去 整理得 分
所以 ,解得 分
分
因为 ,所以直线 的方程为 ,令 ,得 分
同理可得 . -9 分
所以 .
又因为 ,
,所以 分
(ii) 由 (i) 知 为 的中点,得 , —14分
所以
所以 与 的面积之比为 .
所以当 的面积为 时，
与 这两个三角形的面积之和是为定值，为 . -17 分

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