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高二数学学科练习
注意事项:
1. 本练习共 4 页, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。
4. 结束后，只需上交答题卡。
选择题部分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1. 函数 的定义域是
A. B. C. D.
2. 已知随机变量 服从正态分布 ,且 ,则
A. 0.14 B. 0.36 C. 0.64 D. 0.72
3. 已知 是定义在 上且周期为 4 的偶函数,当 时, ,则
A. 0 B. 1 C. D. 2
4. 某公司收集了某商品销售收入 (万元)与相应的广告支出 (万元)共10组数据( )( )，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中 10 个点中去掉 点后再重新进行线性回归分析, 则下列说法正确的是
A. 决定系数 变小 B. 残差平方和变小
C. 相关系数 的值变小 D. 变量 与变量 相关性变弱
5. 已知函数 是 的导函数，则
A. B. C. D.
6. 从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人去参加比赛, 若 3 人中既有女生又有男生的选法共有
A. 18 种 B. 20 种 C. 30 种 D. 60 种
7. 若函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 若 ,则
A. 50 B. 55 C. 99 D. 101
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列结论正确的是
A. 一组数据 的线性回归方程为 ,若 ,则
B. 若随机变量 的数学期望 ,则
C. 若随机变量 的方差 ,则
D. 若随机变量 ，则
10. 对于函数 ,下列选项正确的是
A. 函数 有三个零点
B. 是函数 的极小值点
C. 点 是曲线 的对称中心
D. 成立,则
11. 已知甲口袋中装有 1 个红球, 2 个白球, 2 个黑球, 乙口袋中装有 3 个红球, 2 个白球, 1 个黑球, 这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出 1 个球放入乙口袋, 再从乙口袋中随机取出 1 个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件 ,从乙口袋中取出的球是红球为事件 ,则下列结论正确的有
A. B. C. D.
非选择题部分
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知函数 为奇函数，则实数
13. 某班一天上午 4 节课, 下午 2 节课, 现要安排语文、数学、外语、物理、化学、体育 6 堂课的课程表，要求数学排在上午，体育不排在第一、二节，不同排法种数是_____.(用数字作答)
14. 假设一个随机数选择器每次等可能地从 1 到 9 这 9 个数字中选一个数，那么在 3 次选择后(数字可重复)，选出的 3 个数的乘积能被 10 整除的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了 100 名观众进行问卷调查, 得到了如下数据:
喜欢 不喜欢
男性 40 10
女性 20 30
(1)依据 的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？
(2)从这 100 名样本观众中任选 1 名，设事件 “选到的观众是男性”，事件 “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求 的大小.
附: .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)判断函数 的单调性，并求出 的极值.
17. 已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3) 求 的值.
18. 现有 5 张相同的卡片,分别标有数字1,2,3,4,5.
(1)从中不放回地随机取 3 次，每次取 1 张卡片，求标有数字 1 的卡片被取到的概率；
(2)从中有放回地随机取 3 次，每次取 1 张卡片，
(i)求这 3 次取到的卡片数各不相同概率；
(ii) 记 为这 5 张卡片中从未被取到的卡片的张数,求 的分布列和数学期望.
19. 已知函数 .
(1)若 是函数 的极值点，求 的值；
(2)当 时，求证: ；
(3)若 有两个不同的零点 和 ，且 ，求证: .
高二数学学科练习参考答案
一、单选题(40 分)
1~8 DABB BCCD:
二、多选题(18 分)
9. AB; 10. BCD; 11. ACD;
三、填空题(15 分)
12. -1; 13. 336;
14. ;
8. 答案: D
解析: 解法一: (赋值) 令 得 ,所以 ;
令 得 ,所以 ;
令 得 ,所以 ;
令 得 ,所以 ;
令 得 ,所以 ;
令 得 ,所以 .
解法二: (赋值递推) 令 得 ,所以 ,
所以 ,累加得 ,
所以 .
解法三: (抽象函数具体化) 观察发现 满足题意 且 , 所以 .
11. 答案: ACD
解析: 对于选项 ,由概率的乘法公式得 ,所以选项 正确;
对于选项 ,由全概率公式得
所以选项 B 错误;
对于选项 ,由条件概率公式得 ,所以选项 正确;
对于选项 ,由条件概率公式得 ,
,所以选项 D 正确.
故选: ACD.
14. 答案:
解析: 解法一: (正面考虑) 要能被 10 整除, 这三个数至少有一个 5 和一个偶数, 所以
第一类:1个 5,1 个偶数,1 个其他 (不是 5 且不是偶数),共有 种,
第二类:1个5,2个相同偶数,共有 种,
第三类:1个5,2个不同偶数,共有 种,
第四类:2个5,1个偶数,共有 种,
所以选出的 3 个数的乘积能被 10 整除的概率为 .
解法二: (反面考虑) 要不能被 10 整除, 这三个数没有 5 或没有偶数,
没有 5 共有 种,没有偶数共有 种,没有 5 且没有偶数共有 种,
所以选出的 3 个数的乘积能被 10 整除的概率为 .
15. 答案: (1) 与性别有关联; (2) .
解析: (1) 零 假 设 : 对 机器人 表演节目的喜欢与性别无关. 2分
根据列联表中的数据得 , 5分
依据 的独立性检验,可以推断 不成立,即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联,此推断错误的概率不大于 0.001 . 7分
(2)解法一:依题意得， . 13分
解法二: 由条件概率公式得 . 13分
16. 答案: (1) ；
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；有极小值 ，无极大值.
解析: (1) 函数的定义域为 , 2分
在点 处的切线斜率 , 4分
所以在点 处的切线方程为 ,即 . .6分
(2)令 ，解得 . .8分
当 变化时, 的变化情况如下表所示,
- 0 +
单调递减 单调递增
所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 12分
当 时, 有极小值 ,无极大值. 15分
17. 答案: (1) 6 ; (2) .
解析:(1) 令 得,左边 ，解得 ； 4分
(2)因为 的展开式为 ,
当 为奇数时, 的系数均为负,所以 即 ,
当 为偶数时, 的系数均为正,所以 即 ,
所以 , 7分
令 得 ,
所以 ; 9分
(3)因为 的展开式为 ，
所以 的项为 , 12分
所以 . 15分
18. 答案: 分布列见解析,期望为 .
解析: (1) 设 “标有数字 1 的卡片被取到”,依题意 . 4分
(2)(i)设 “这 3 次取到的卡片数各不相同”，依题意 . 10分
(ii) 易知 的所有可能取值为 2,3,4
此时 , 14分
所以 的分布列为:
2 3 4
则 . 17分
19. 答案: (1) ; (2) 见解析; (3) 见解析.
解析: (1) , 1分
因 是 函 数 的 极 值 点 ,则 ,得 , ......3分
经检验,当 ,当 ,所以 是函数 的极小值点,符合题意. 4分
(2)当 时， ，
若证 ,只需证 ,
所以 ,
因为 ,所以 在 上单调递增, 6分
又因为 ,所以存在 时,使得 ,即 ,即, 当 ， ，当 ， ， 所以 在 单调递减,在 单调递增, .8分
所以 ,所以 ,当 时, ; 10分
(3) ，则 ，知 在区间 内单调递增.
在区间 内存在唯一的零点 ,
即 ,于是 .
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
若 有两个不同的零点 和 ,且 ,所以 ,解得 . 13分
所以 ,
所以 ,所以 , 15分
令
要证 ,即证 ,即证 .
令 在 上单调递增,且 ,
所以 在 上单调递增,
所以 . 得证. 17分

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