资源简介

哈三中 2026 年高三学年第三次模拟考试 数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上， 并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷(选择题，共 58 分)
一、选择题(共 58 分)
(一)单项选择题(共 8 小题，每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的)
1. 已知复数 满足 ，则 的实部为( )
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D. ）
3. 已知递增的等比数列 满足 ，则 的公比 ( )
A. 5 B. 3 C. D.
4. 已知 的平均数为 ,方差为 2,则 的方差为 ( )
A. B. C. D.
5. 如图, 中,点 是线段 上靠近 的三等分点,点 是线段 上靠近 的三等分点,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品. 现有总长度为 240 米的钢筋，需截成 10 段制作骨架. 其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余 8 段作为粮食储存仓的竖向支撑筋. 此粮食储存仓体积最大时，公众号悦爱学堂底面半径的值为 ( ) (单位:米)
A. B. C. D.
7. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 设椭圆 的左、右焦点分别为 为坐标原点,过 的直线与椭圆 交于 两点,若 的面积是 面积的 4 倍,则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
(二)多项选择题(共 3 小题，每小题 6 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.
B.
C. 当 时,函数 的值域为
D. 的图象是由 的图象先将各点的横坐标变为原来的 ,再向左平移 个单位长度得到的
10. 已知数列 满足 ,且 ,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 设数列 满足 ,则 的最大项为
C. 设数列 的前 项和为 ,则
D. 设数列 的前 项和为 ,若 ,则正整数 的最小值为 1012
11. 已知 ,且 ,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 若 在 上单调递增,则
C. 对任意 ,都有
D. 若过点 可以作曲线 的两条切线,则
第II卷(非选择题，共 92 分)
二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.将答案填在答题卡相应的位置上)
12. 已知函数 为奇函数，则 _____.
13. 已知圆 ，过点 作圆 的切线 ，则 的方程为_____.
14. 抛掷一枚质地均匀的骰子 (六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),向上的点数为 1 记为事件 , 抛掷 次后事件 发生奇数次的概率记为 ，则 _____， _____.
三、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 记 的内角 的对边分别为 外接圆的半径为 ，且 .
(1)求 ；
(2)角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的周长.
16. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、 皮影、刺绣、泥塑 4 个非遗项目的传承人各 1 名, 安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑 4 个非遗体验工坊进行授课, 要求每个工坊安排 1 名传承人, 每名传承人仅在一个工坊授课.
(1)求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率；
(2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量 , ,定义协方差为 . 如果协方差为正,说明两个随机变量具有正相关关系; 如果协方差为负, 说明两个随机变量具有负相关关系; 如果协方差为零, 说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的 4 名传承人中,记在对应项目工坊授课的传承人数为 ,不在对应项目工坊授课的传承人数为 .
(i) 求随机变量 的分布列;
(ii) 求 ,并说明 之间的线性相关关系.
17. 已知 分别是双曲线 的左、右顶点,点 是双曲线 上的一点,且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线 ，交双曲线 的左、右两支于 两点(异于 ).
(i) 求 的取值范围;
(ii) 设直线 与直线 交于点 ,求证: 点 在定直线上.
18. 如图,在斜三棱柱 中, ，侧棱 ， ,其中 为锐角.
(1)当 时，求证: ；
(2)定义:过点 作 垂直底面 于 ，且 在 内部，记 与 、 所成角分别为 、 ,称 为斜三棱柱的投影偏差率.
(i) 当 时,求斜三棱柱 的投影偏差率 (不需证明),并求此时平面 与平面 夹角的余弦值;
(ii) 关于 的函数解析式记为 ,若存在两个不同的锐角 使得 ,求证: .
19. 已知 ,满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 对 恒成立，求整数 的最大值；
(3)令 ，对于 ，当 时， 恒成立，求实数 的最小值.
哈三中 2026 年高三学年第三次模拟考试 数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上， 并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷(选择题，共 58 分)
一、选择题(共 58 分)
(一)单项选择题(共 8 小题，每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的)
1. 已知复数 满足 ，则 的实部为( )
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
【答案】A
由题可知, ,则 的实部为 2 .
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解 ,再根据并集的定义即可求解.
由题知 ,
所以 .
3. 已知递增的等比数列 满足 ，则 的公比 ( )
A. 5 B. 3 C. D.
【答案】C
根据等比数列的性质,可得 ,根据条件,求出 的值,计算求解,即可得答案.
因为 为等比数列,所以 ,
又 ,联立解得 或 ,
又 单调递增,则 ,所以 ,
则 ,解得 .
4. 已知 的平均数为 ,方差为 2,则 的方差为( )
A. B. C. D.
【答案】B
根据平均数和方差的计算公式计算.
由已知 ,
所以 ,
故选: B.
5. 如图， 中，点 是线段 上靠近 的三等分点，点 是线段 上靠近 的三等分点，若 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
根据三等分点的向量关系,先将 通过 和 分解,再把 用 表示、 用 与 表示,通过线性运算整理出 关于 的表达式,进而得到系数 和 ,最后计算 的值.
由点 是线段 上靠近 的三等分点,得 ,
由点 是线段 上靠近 的三等分点,得 ,
所以
,
由 ,得 ,
所以 .
6. 某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品. 现有总长度为 240 米的钢筋，需截成 10 段制作骨架. 其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余 8 段作为粮食储存仓的竖向支撑筋. 此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
本题考查圆柱的体积公式, 圆的周长公式以及利用导数和二次函数性质求最值.
设圆柱的底面半径为 米,
则底面周长 ,两个底面的总周长为 .
钢筋总长为 240 ，所以用于做母线的钢筋总长度为: ，
母线共有 8 段,所以圆柱的高为: ,
圆柱的体积 ,
对 进行求导: ,令 ,
得 (舍), ,
当 时,此时,圆柱体积最大.
7. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
根据条件及诱导公式,结合二倍角的余弦公式,可得 ,根据 的范围,分析即可得答案.
由题意 ,
又 ,所以 ,
由 ,得 ,
所以 .
8. 设椭圆 的左、右焦点分别为 为坐标原点,过 的直线与椭圆 交于 两点,若 的面积是 面积的 4 倍,则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
根据椭圆的性质,利用已知面积关系推出 ,从而得出 即为通径,结合已知条件求出 的关系,进而利用 求出 的关系,从而求解离心率.
椭圆 的左、右焦点分别为 ,
，
,
,故 轴, 是椭圆的通径,即 ,
,
,故 ,
,解得 ,即 ,
.
(二)多项选择题(共 3 小题，每小题 6 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.
B.
C. 当 时,函数 的值域为
D. 的图象是由 的图象先将各点的横坐标变为原来的 ，再向左平移 个单位长度得到的
【答案】AC
由函数的最值可得 值,根据周期公式可得 值,可判断 ; 代入特殊值分析求解,可得 值, 即可得 的解析式可判断 ; 根据 的范围可得 的范围,结合正弦函数的性质得 的值域, 即可判断 ; 根据图象平移、伸缩变换的方法,整理化简,可判断 .
由图象得, 的最大值为 2,最小值为-2,所以 ,
,解得 ,则 ,故 A 正确;
,所以 ,
因为 ,所以令 ,则 ,所以 ,
则 ,故 错误;
当 时, ,
所以当 时, 有最小值 -2,
当 时, 有最大值 1,则函数 的值域为 ,故 正确;
将 的图象先将各点的横坐标变为原来的 ,得 ,
再向左平移 个单位长度,得 ,故 错误.
10. 已知数列 满足 ,且 ,则下列结论正确的是( )
A.
B. 设数列 满足 ,则 的最大项为
C. 设数列 的前 项和为 ,则
D. 设数列 的前 项和为 ,若 ,则正整数 的最小值为 1012
【答案】ACD
A 选项,变形得到 ,得到通项公式; 选项, 错误; 选项,错位相减法求和得到 正确; 选项,变形后,分 为奇数和偶数两种情况,得到 ,解不等式,得到答案
A 选项, ,即 ,
故 ,
又 ,故 ,所以 , A 正确;
B 选项, ,
显然 的最大项不为 错误;
选项, ,则 ①,
②,
式子①-②得 ,
所以 , C 正确;
D 选项, ,
若 为偶数,则 ,
,即 ,解得 且 为偶数,
故 且 为偶数,
若 为奇数,则 ,
,即 ,解得 且 为奇数,
故 且 为奇数,
综上,若 ,则正整数 的最小值为 1012, D 正确.
11. 已知 ,且 ,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 若 在 上单调递增,则
C. 对任意 ,都有
D. 若过点 可以作曲线 的两条切线,则
【答案】ACD
由 ,可得 ,
则 ,即 ,
所以 .
对于 ,由 ,可得 . 故 正确.
对于 ,因为 ,
则 . 若 在 上单调递增,
则 在 上恒成立,则有 ,即 在 上恒成立.
而 ,则得 ,故 错误.
对于 ,因为 ,所以 .
则 ,且 ,则 为下凸的递增函数.
如图所示:
则对任意 ,都有 成立. 故 正确.
对于 ,设切点 ,因为 ,
则有 ,解得 .
若过点 可以作曲线 的两条切线,即 有两不等实数解.
设 ,则 ,
由 ,即 ,解得 ,
所以 为 上的增函数,为 上的减函数.
而当 时, 极大值为 ;
当 且 时, ; 当 时, .
所以 有两不等实数解,只需 . 故 D 正确.
第II卷(非选择题，共 92 分)
二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.将答案填在答题卡相应的位置上)
12. 已知函数 为奇函数，则 _____.
【答案】 0
根据题意, 由奇函数的定义, 代入计算, 即可求解.
因为函数 为奇函数,则
因为
所以 ,
则 ,
解得 .
13. 已知圆 ,过点 作圆 的切线 ,则 的方程为_____.
【答案】 或
先把圆的方程化为标准方程, 求出圆心和半径, 分类讨论切线斜率存在与不存在两种情况, 当斜率存在时,写出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,解出斜率 ,然后可得切线方程.
因为圆 的方程可以化为 ,所以其圆心为 ,半径为 1,
当切线斜率存在时,设切线的方程为 ,即 ,
所以有 ,解得 ,所以切线的方程是 或
当切线斜率不存在时, ,此时圆心到直线距离为 5,不与圆 相切,
所以 的方程为 或 .
14. 抛掷一枚质地均匀的骰子 (六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),向上的点数为 1 记为事件 , 抛掷 次后事件 发生奇数次的概率记为 ，则 _____， _____.
【答案】
①. ②.
利用独立重复试验的概率公式计算; 分析 与 的递推关系建立递推式,通过构造等比数列的方法求解通项公式,进而代入 计算 .
每次抛骰子,事件 发生的概率 ,不发生的概率为 ;
抛 2 次, 发生奇数次即恰好发生 1 次,由二项分布概率公式: ,
次中 发生奇数次，可分为两种情况:① 前 次发生偶数次，第 次发生；
② 前 次发生奇数次，第 次不发生，
因此: ,
所以 ,所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,
所以 ,
所以 .
三、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 记 的内角 的对边分别为 外接圆的半径为 ,且
(1)求 ；
(2)角 的平分线交 于点 ，且 ，求 的周长.
【答案】(1)3 ；
(2)
(1) 由正弦定理和三角恒等变换,特殊角的三角函数值得到 ,由正弦定理可得 ;
(2)根据三角形面积和余弦定理可得方程组,联立可得 ，求出三角形周长
【小问 1 】
,
由正弦定理得 ,
即 ,
又 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,故 ,解得 ,
ceABC外接圆的半径为 ,由正弦定理得 ,
所以 ,
【小问 2 】
,故 ,
由三角形面积公式可得 ，
,
,即 ,
在 中,由余弦定理可得 ,
即 ,故 ,
因为 ,所以 ,解得 或-3(舍去),
故 的周长为 .
16. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、 皮影、刺绣、泥塑 4 个非遗项目的传承人各 1 名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑 4 个非遗体验工坊进行授课, 要求每个工坊安排 1 名传承人, 每名传承人仅在一个工坊授课.
(1)求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率；
(2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量 ,
,定义协方差为 . 如果协方差为正,说明两个随机变量具有正相关关系; 如果协方差为负, 说明两个随机变量具有负相关关系; 如果协方差为零, 说明两个随机变量在线性关系上不相关. 在参与授课的 4 名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为 ，不在对应项目工坊授课的传承人数为 .
(i) 求随机变量 的分布列;
(ii) 求 ,并说明 之间的线性相关关系.
【答案】(1)
(2) (i)
0 1 2 4
(ii) 与 之间具有负相关关系
(1)在剪纸传承人已固定的条件下, 将问题转化为古典概型, 结合条件概率即可求解；
(2)(i)利用组合选人结合错位排列的思路即可求解；(ii)由题意得 ，将协方差转化为 ， 结合随机变量的方差公式即可求解.
【小问 1 】
设“剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课”为事件 ,
“皮影项目的传承人不在皮影工坊授课”为事件 ,
剪纸项目的传承人在剪纸工坊,剩下 3 人全排列,即 ,
皮影项目的传承人只能在除剪纸项目与皮影项目剩下的 2 个项目中选 1 个，即 ,
剩下 2 人全排列,即 ,所以 ,
所以 .
【小问 2 】
(i) 由题意得总分配方案数为 ,设 4 人为1,2,3,4,对应的工坊为 , 当 时,4 人都在自己对应的工坊,只有 1 种情况,
即 ,
当 时,从 4 人中选 2 人在对应工坊,有 种选法,
剩下两人都不在对应工坊,只有 1 种排法,共有 种排法,
即 ,
当 时,从 4 个人中选 1 人在对应工坊,有 种选法,
剩下三人必须不在对应的工坊,不妨设剩下的 3 人为1,2,3,
1 不在 ,只能在 中选,有 种选法,
2,3 只能调换位置,有 1 种排法,共 种排法,
即 ,
则 ,
随机变量 的分布列如下:
0 1 2 4
(ii) 由题意得 ,
由上可得 ,
则 ,
则
因为协方差为负数,由题意得随机变量 与 之间具有负相关关系.
17. 已知 分别是双曲线 的左、右顶点,点 是双曲线 上的一点,且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线 ，交双曲线 的左、右两支于 两点(异于 ).
(i) 求 的取值范围;
(ii) 设直线 与直线 交于点 ,求证: 点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)(i) 的取值范围为 ；(ii)证明见解析.
(1) 根据 求出 或 ,验证后 不符合题意舍去,然后求出 ,得到双曲线方程;
(2)(i)由题意知，直线 的方程为 ，设 ， ，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和 得到不等式组,从而求出 的取值范围;
(ii) 在 (i) 的基础上,得到两根之和,两根之积,得到 ,表达出直线 与直线 的方程, 联立得到 ,将 代入,化简得到 即可得证.
【小问 1 】
由题意可知 ,
因为 ,解得 或 ,
若 ,则双曲线 的方程为 ,
因为 是 上一点,所以 ,解得 ,不满足题意;
若 ,则双曲线 的方程为 ,
因为 是 上一点,所以 ,解得 ,满足题意;
所以双曲线 的方程为 ;
【小问 2 】
(i) 由题意知,直线 的方程为 ,设 ,
联立 ,化简得 ,
因为直线 与双曲线左右两支相交,所以 ,
所以
所以 的取值范围为 ;
(ii) ,则 ,
直线 的方程为 ①，直线 的方程为 ②，
联立①②得 ,所以 ,
化简得 ,
所以 ,
所以点 的横坐标始终为 1,故点 在定直线 上.
18. 如图，在斜三棱柱 中， ， ，侧棱 ， ， ,其中 为锐角.
(1)当 时，求证: ；
(2)定义:过点 作 垂直底面 于 ，且 在 内部，记 与 、 所成角分别为 、
,称 为斜三棱柱的投影偏差率.
(i) 当 时,求斜三棱柱 的投影偏差率 (不需证明),并求此时平面 与平面 夹角的余弦值;
(ii) 关于 的函数解析式记为 ,若存在两个不同的锐角 使得 ,求证: .
(1) 利用基底法表示向量, 结合已知条件求出向量的数量积, 利用数量积为 0 证明结论;
(2)(i)建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，根据投影偏差率 定义求解，求出相关平面法向量,利用向量夹角余弦公式计算求解; (ii) 根据投影偏差率 定义结合 (i) 化简,利用“存在两个不同的锐角 使得 ” 的条件构造方程,进而求出 ,证明结论.
【小问 1 】
因为 ,
所以 ,即 .
【小问 2 】
以 为坐标原点, 为 轴, 为 轴,过 垂直于面 的直线为 轴,
建立下图所示空间直角坐标系,
则 ,
(i) 已知 ,
则 ,故 ,
已知 与 所成角分别为 ,
则 ,
则 ,
,则 ,
,
,
设平面 的法向量为 ,则 , 令 ,则 ,
平面 的法向量可取 ,
设平面 与平面 夹角为 ,则
(ii) ,
已知存在两个不同的锐角 使得 ,
设 ,
则 ,
锐角 是两个不同的锐角,则 符号相反,
,即 ,
化简整理得 ,
为锐角,则 ,
.
19. 已知 ,满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 对 恒成立，求整数 的最大值；
(3)令 ，对于 ，当 时， 恒成立，求实数 的最小值.
【答案】(1)
(2) 5
(3)
(1) 利用 得到数列 的通项公式.
(2)首先根据必要性，公众号悦爱学堂不等式代入几个特殊的 ，得到整数 的最大值,再证明此时不等式恒成立.
(3)首先关于 对 取最小值，然后对 因式分解，求出零点， 得到实数 的最小值.
【小问 1 】
时, ,得
时, ,
解得 时,也满足.
综上, .
【小问 2 】
,即 ,
由必要性, 时不等式成立,得 ,故整数 最大值为 5 .
下证 时, 对 恒成立.
.
对于 取最小值 ,故 .
又 ,故 .
综上整数 最大值为 5 .
【小问 3 】
时, 最小,记为 ,
观察得 ,故 ,
的零点为 -1 (二重), .
故实数 的最小值为 .

展开更多......

收起↑