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甘肃省天水市第二中学等校2025-2026学年高二下学期期中检测
数学试卷
一、单选题
1．对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ）
A． B．0 C． D．
6．已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．6
7．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）．

A． B．
C． D．
10．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点
B．0是函数的极小值点
C．函数的单调递增区间是
D．函数的单调递减区间是
11．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于中心对称
B．在点处的切线方程为：
C．最小值为
D．对任意，，都有
三、填空题
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.
13．函数的单调增区间是___________.
14．在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______.
四、解答题
15．已知空间三点，设
(1)求；
(2)若向量与互相垂直，求实数k的值.
16．已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
17．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点．
(1)求证：平面ABD；
(2)求异面直线AC与BD所成角的余弦值．
18．如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，.
(1)求二面角的余弦值；
(2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，求证：．
参考答案及解析
1．C
解析：①，②，③，④．
故选：C．
2．C
解析：对于A，因为(为常数),所以，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
3．B
解析：关于轴的对称点坐标为，即.
故选：B.
4．B
解析：.
故选：B.
5．C
解析：由题可得位移是关于时间的函数，且满足，
则，
则该弹簧振子在时的瞬时速度是.
故选：C
6．C
解析：因为，
所以存在使得，即，
所以.
故选：C.
7．B
解析：由题意可得在上恒成立，
故在上恒成立，
由，故.
故选：B.
8．C
解析：，
由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点，
即当时，有两个不同正实数根，
令方程有两个不同正实数根为、，
则有，，则，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：C.
9．ACD
解析：对于A，四边形是平行四边形，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：ACD．
10．BC
解析：由题意可得，当时，，
当时，，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.
故选：BC
11．ABD
解析：因为，则，
又是偶函数，所以，即，
所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为，
且，即为奇函数，
所以的图象关于中心对称，故A正确；
， ，所以在处的切线方程为，即
，故B正确；
，故C错误；
设任意，则，，则，
又，
所以
，当且仅当时取等号，
所以对任意，都有，故D正确；
故选：ABD
12．
解析：，，
切线斜率，故切线方程为，
即.
故答案为：
13．/
解析：解：
由得，
故的单调递增区间是.
故答案为：
14．/
解析：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，所以，
而平面，平面，故平面，
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.
又，，
设平面的法向量为，
故，即，取，则，
又，
故点到平面的距离为.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
解析：（1）由题意，，则；
（2）由（1）可得
因向量与互相垂直，则得：，
解得，或.
16．(1)；
(2)最大值为4，,最小值为0.
解析：（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
17．(1)证明见解析
(2)．
解析：（1）如图，取AB的中点F，连接DF，EF，
因为E是的中点，所以，且，
又，，D是的中点，
∴，，∴四边形是平行四边形．
∴，又平面ABD，平面ABD，
∴平面ABD．
（2）以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
从而，．
∴，
∴直线AC与BD所成角的余弦值为．
18．(1)
(2)
解析：（1）取的中点为.
平面平面平面，平面平面，平面.
以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴，
建立如图的空间直角坐标系，
，
，，，
设平面的法向量为
即
令，则.
又平面的法向量为，则，
设二面角的平面角为，由图形知为锐角，
，即二面角的余弦值为.
（2）设，，
.
又平面的法向量为平面，∴，
∴，，即.
∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析．
解析：（1）定义域为，
，，
①当时，恒成立，函数在上单调递增；
②当时，由得，
或时，，时，，
函数在递增；在递减；
（2）若存在两个极值点，则是方程的两个根，
∴，，，
令，所以在上单调递减，
则，又，故，所以，即．

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