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湖北省沙市中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位.则（ ）
A．10 B．5 C． D．
3．已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．0 D．
4．若函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（ ）

A．1 B． C． D．2
二、多选题
9．已知，为复数，是虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．若为纯虚数，其中，则或
B．若，则
C．若复数满足，则
D．若，则的最大值为2
10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．曲线的对称轴为，
D．将图象向左平移个单位后得到的图象
11．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．角可能是锐角
B．
C．若，则面积的最大值为2
D．若在上的投影向量模长为，则的值为
三、填空题
12．已知点，且，则点的坐标为___________________．
13．为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为____________________米.
14．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且满足，，则的值为____________________．
四、解答题
15．已知，．
(1)若，的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角θ的余弦值．
16．已知中，内角所对的边分别为，且（其中为的面积）.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
17．的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长．
18．已知，函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围；
(3)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围．
19．如图，已知为等边三角形，点是内一点．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，，且，．
(1)若，求；
(2)若点是的重心，设的周长为，的周长为．
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域．
参考答案
1．B
【详解】对数函数为增函数，当时，，则，
指数函数为减函数，当时，，则，
所以.
故选：B
2．C
【详解】由，可得，
所以，
则.
故选：C.
3．A
【详解】由题意可得向量在上的投影向量为，
所以，
又向量为单位向量，
所以.
故选：A.
4．B
【详解】因为可得的周期为4，则.
5．C
【详解】由，得，
即，所以.
所以
.
6．D
【详解】由题意得，代入得，
由正弦定理得，其中为外接圆的半径，
代入，得，故D正确.
7．A
【详解】因为，故，
所以，
所以，
故
（*），
当且仅当，即时，等号成立，
又，故，解得，
所以，所以（*）式可取等号，
所以的最小值为.
故选：A
8．B
【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意得，又，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，故，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
因为，，故，
因为，，所以，
所以在中，，
所以为等边三角形，
所以，所以，
设，由题意令，即，
解得，所以，
所以，
设，可得其对称轴为，且开口向上，
所以时，取得最小值，即的最小值为.
故选：B.

9．BCD
【详解】对于A，若为纯虚数，则，解得，故A错误.
对于B：复数的模，若，则，所以，故B正确.
对于C，设，，则.
因为，所以，即，则，故C正确.
对于D，若，则，对应复平面内单位圆上的两动点，可得的最大值是2，故D正确.
10．ABC
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，故，，
且 在的单调递减区间上，，
则，，故，
又，故，，正确；
对选项C：，由，解得，，正确；
对选项D：图象向左平移个单位得到：
，错误.
故选：ABC
11．BCD
【详解】对于A，由可得，
因为，代入可得，则，
因为，则为钝角，故A错误；
对于B，由和余弦定理，可得，整理，故B正确；
对于C，由上分析，，则，
于是，的面积，
因为，则，即代入上式，
可得：，
故当时，取得最大值为2，即C正确；
对于D，因在上的投影向量为，依题意，，
化简得，即，由A项知，为钝角，则为锐角，
故由可得，再由B项和正弦定理，可得，
则，展开得，即，
因为，则得，故，则，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】设点，那么，
由可得，，故
13．
【详解】设铁塔OT的高度为米.
在中，，在中, ,
在中，由余弦定理，，
即，解得.
14．
【详解】，即，
由正弦定理得，
即，，
，
因为，所以，，，
因为，所以，
故的三个内角均小于，又点为的费马点，
则，
由可得，
由余弦定理得，
故，解得，
故，
又，
故，
解得，
所以
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以
（2）若，则，即，所以，
即，所以．
16．(1)；
(2)
【详解】（1）因，且，
由，可得，所以，
又，则；
（2）设的外接圆半径为，由正弦定理，
，
则
.
由为锐角三角形及，则，则，，
则，则，故，
即的取值范围是
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，又
所以，
因为在中，，所以.
（2）由余弦定理得：，即有①；
设为的中点，即，又因为，
所以，即②，
由①，②得：，
所以，所以．
因为为的平分线，所以，
则，
即．
18．(1)
(2).
(3).
【详解】（1）
，所以函数的最小正周期.
（2）由题意得变换后的函数解析式为，
当，
函数在区间内恰有一个对称中心，
即函数在恰有一个对称中心，故，
解得，所以的取值范围为.
（3）当时，，
作出函数在上的图象，如图所示：
函数在上有唯一零点，
即方程在上有唯一解，
令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时，
若方程在上有唯一解，
则关于的方程的根，
令，解得，此时方程的根为，符合题意；
当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解，
则关于的方程的两个根，，
当时，方程只有一个根，不符合题意，则，，
因为函数的对称轴为，所以方程的两个根，
一个小于，一个大于，所以若，则恒成立，
所以仅需满足即可，
所以，解得.
综上所述，的取值范围为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）
如图所示，连接并延长，交于点，设，则，
又三点共线，所以，即，
则，，
又，所以，所以.
（2）（i）
如图所示，连接并延长，交于点，因为为重心，所以为中点，
所以，所以，
又三点共线，所以，则．
（ii）设的边长为，则，，（）
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
因为，，
所以，
因为，所以，
因为，，所以，，又，则有，
因为，所以，
因为，，所以的最小值为，最大值为，所以，单调递增，
则，
所以，即的值域为．

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