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6.3.2　二项式系数的性质
一．选择题
1.在(2+x)6的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A.第3项和第4项
B.第4项和第5项
C.第3项
D.第4项
2.若x2+(x+1)7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a7(x+2)7,则a0+a1+a2+…+a7=(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.129
3.在(x+)n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为(　　)
A.15 B.45 C.135 D.405
4.(x2+2)(2x-)6的展开式中所有项的系数和与常数项分别为(　　)
A.3,260 B.-3,260 C.3,-260 D.-3,-260
5.(多选题)已知(1+x)6=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a6(1-x)6,则下列选项正确的有(　　)
A.a0=1 B.a6=1
C.a0+a1+…+a6=64 D.a1+a3+a5=-364
6.(多选题)若f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1,则(　　)
A.f(x)可以被(x-1)3整除
B.f(x+y+1)可以被(x+y)4整除
C.f(30)被27除的余数为6
D.f(29)的个位数为6
7.(多选题)若(x2-x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则下列选项正确的是(　　)
A.a0=32
B.a2=80
C.a1+a2+…+a10=32
D.|a1|+|a2|+…+|a10|=992
二．填空题
8.定义:(x2-x-1)n=x2n+x2n-1+…+x+(n∈N*)中,把,…,叫做三项式(x2-x-1)n的n次系数列(例如三项式的1次系数列是1,-1,-1),按照上面的定义,该三项式的5次系数列各项之和为　　　　　.
9.已知(x+4)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 023x2 023,若T=a0+a1+a2+…+a2 023,则T被6除所得的余数为　　　　　.
10.已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　　.
11.设(+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2的值为　　　　　.
三．解答题
12.已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.求:
(1)a0的值;
(2)a1+a3+a5的值.
13.已知(x2-y+2)n展开式的各项系数和为128,求展开式中含x4y3项的系数.
14.已知()n展开式的二项式系数和为32,各项系数和为243.
(1)求n,a的值;
(2)若将展开式中的各项重新排列,求有理项互不相邻的概率.
6.3.2　二项式系数的性质
一．选择题
1. D
因为n=6为偶数,所以展开式中二项式系数最大的项只有一项,且为第+1=4项.
2.C
令x=-1得,a0+a1+a2+…+a7=1.
3. C
令x=1,代入(x+)n可得各项系数和为4n,(x+)n展开式的各项的二项式系数和为2n,
由题意知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,所以=64,解得n=6,则二项式(x+)n的展开式的通项为Tk+1=x6-k()k=x6-k·3k=3k令6-k=3,解得k=2.
所以x3的系数为32=9×15=135.
4． C
令x=1,则(x2+2)(2x-)6=3×1=3,所以(x2+2)(2x-)6的展开式中所有项的系数和为3;(2x-)6的展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k·(-)k=(-1)k26-kx6-2k,k=0,1,…,6,令6-2k=-2,得k=4.所以(2x-)6的展开式中含的项为(-1)422x-2=,令6-2k=0,得k=3,所以(2x-)6的展开式中常数项为(-1)323=-160,
所以(x2+2)(2x-)6的展开式中常数项为60+2×(-160)=-260,所以(x2+2)(2x-)6的展开式中所有项的系数和与常数项分别为3,-260.
5.BD
由(1+x)6=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a6(1-x)6,得[2-(1-x)]6=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a6(1-x)6,则其展开式的通项为Tk+1=26-k(-1)k(1-x)k,
对于A,令k=0,则a0=26(-1)0=26,所以A错误;对于B,令k=6,则a6=20(-1)6=1,所以B正确;对于C,在(1+x)6=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a6(1-x)6中令x=0,则a0+a1+…+a6=1,所以C错误;对于D,a1+a3+a5=25×(-1)+23×(-1)+2×(-1)=-364,所以D正确.故选BD.
6. AB
∵f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1=(x-1)5,∴f(x)可以被(x-1)3整除,故A正确;∵f(x+y+1)=(x+y)5,∴f(x+y+1)可以被(x+y)4整除,故B正确;∵f(30)=(30-1)5 =(27+2)5=275+274×2+…+27×24+25=275+274×2+…+27×24+27+5,∴f(30)被27除的余数为5,故C错误;∵f(29)=(29-1)5=(30-2)5=305+304×(-2)+…+30×(-2)4+(-2)5=305+304×(-2)+…+30×(-2)4-32,
∴个位数为10-2=8,故D错误,故选AB.
7. AD
对于A,令x=0,则a0=25=32,所以A正确;
对于B,因为5个相同的因式相乘,要得到含x2的项,可以是5个因式中,一个取x2,其他4个因式取2,或两个因式取-x,其他3个因式取2,所以a2=1×24+(-1)2×22=120,所以B错误;
对于C,令x=1,则a0+a1+a2+…+a10=(12-1+2)5=32,因为a0=32,所以a1+a2+…+a10=0,所以C错误;
对于D,(x2+x+2)5展开式所有项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|,令x=1,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=(12+1+2)5=1 024,因为a0=32,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=992,所以D正确,故选AD.
二．填空题
8.-1
令x=1,则(1-1-1)5=+…+=-1,
所以该三项式的5次系数列各项之和为-1.
9.5
令x=1,则52 023=(6-1)2 023=a0+a1+a2+…+a2 023=T,而(6-1)2 023=62 023-62 022+62 021-…-62+61-60展开式中前2 023项均能被6整除,只需求最后一项除以6的余数.而-60=-1=5-6,所以T被6除所得的余数为5.
10.8　-2
(x-1)4展开式的通项为Tk+1=x4-k(-1)k,
故a2=1(-1)3+2(-1)2=8.
令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,
令x=0,得a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
11.1
令x=1有a0+a1+…+a10=(+1)10,
令x=-1有a0-a1+a2-…+a10=(-1)10,
故(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)·(a0-a1+a2-…+a10)=(+1)10×(-1)10=1.
三．解答题
12.
(1)因为(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,所以令x=0,得a0=1.
(2)由二项式定理,得(1+2x)5=(2x)+(2x)2+(2x)3+(2x)4+(2x)5=1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5.
因为(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,所以a1=10,a3=80,a5=32.
所以a1+a3+a5=122.
13.
令x=y=1得,2n=128,解得n=7,将(x2-y+2)7看成7个x2-y+2相乘,要得到含x4y3项,则这7个因式中2个因式取x2,余下5个因式中3个因式取-y,余下2个因式取2,所以含x4y3项的系数为(-1)3×22=-840.
14.
(1)由题意得解得
(2)由(1)可知二项式为()5,其展开式的通项为Tk+1=()5-k·()k=2k(k=0,1,2,3,4,5).
由此可知,当k=1,3,5时,会得到二项展开式的有理项,即二项式()5的展开式中有理项共3项,而二项式()5的展开式中共有6项,所以将展开式各项重新排列,求其中有理项互不相邻的概率为P=
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