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6.3.1　二项式定理
一．选择题
1.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于(　　)
A.(x-1)3 B.(x-2)3 C.x3 D.(x+1)3
2.在(+x)6的展开式中,常数项为(　　)
A.160 B.-160 C.60 D.-60
3.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8等于(　　)
A.-5 B.5 C.90 D.180
4.(2x+a)(x+)6的展开式中x2的系数为-120,则该二项展开式中的常数项为(　　)
A.320 B.-160
C.160 D.-320
5.在()24的展开式中,x的幂指数是整数的项共有(　　)
A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
6.(多选题)若(x-)k(k∈N*)的展开式中含x2的项,则k的取值可能为(　　)
A.6 B.8 C.10 D.14
7.(多选题)对于(+x3)n(n∈N*)的展开式,以下判断正确的是(　　)
A.存在n∈N*,展开式中有常数项
B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项
二．填空题
8.(2x+)7的展开式中倒数第三项为　　　　　.
9.用二项式定理展开(1+)4=　　　　　　　　.
10.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是　　　　　.
三．解答题
11.求()5的展开式中的常数项.
12.在()12的展开式中,
(1)求展开式中含x3项的系数;
(2)如果第3k项和第k+2项(两项不相同)的二项式系数相等,试求k的值.
13.设(x-)6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,求a的值.
14.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).
(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式含x2的项;
(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值
15.已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.
(1)试求f(x)的展开式中x2的系数的最小值;
(2)对于使f(x)的展开式中x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;
(3)利用(2)中m与n的值,求f(0.003)的近似值.(精确到0.01)
6.3.1　二项式定理
一．选择题
1.C
S=[(x-1)+1]3=x3.
2.A
(+x)6的展开式的通项为Tk+1=()6-k·xk=26-k·x2k-6,k=0,1,2,3,4,5,6,令2k-6=0,则k=3,所以常数项为26-3·x6-6=160.
3.D
因为(1+x)10=(-2+1-x)10,
所以a8=(-2)2=45×4=180.
4.D
(x+)6的展开式通项为Tk+1=x6-k·()k=2k·x6-2k,2xTk+1=2k+1·x7-2k,由k∈N*,则7-2k≠2,故不成立,aTk+1=a2k·x6-2k,令6-2k=2,解得k=2,则a22=60a=-120,解得a=-2,因为7-2k≠0,在-2Tk+1中,令6-2k=0,解得k=3,所以展开式中的常数项为-223=-320.
5. C
()24的通项Tk+1=)24-k·()k=(k=0,1,2,…,24),
故当k=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共5项.
6． BD
(x-)k的展开式的通项为Tr+1=(-1)rxk-rx-2r=(-1)rxk-3r(r=0,1,2,…,k),令k-3r=2,则k=3r+2,k∈N*,即r=因为r∈N,所以k=2,5,8,11,14,….故选BD.
7. AD
(+x3)n的展开式的通项是Tk+1=)n-k·(x3)k=x4k-n.令4k-n=0,则n=4k,即若n为4的倍数,展开式中有常数项,故A正确,则B不正确;当k=1,n=3时,T2=x,故D正确,则C不正确.故选AD.
二．填空题
8.
由于n=7,可知展开式共有8项,∴倒数第三项即为第六项,∴T6=(2x)2()5=22
9.1+
(方法一)(1+)4=)0+)1+)2+)3+)4=1+
(方法二)(1+)4=()4=()4(x+1)4=()4(x4+x3+x2+x+x0)=1+
10．120
(1+x)n(n≥2)的展开式中x2的系数为,故(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是+…++…+=120.
三．解答题
11.
方法一)不妨设x>0,则()5可化为()10,其展开式的第k+1项为Tk+1=)10-k()10-2k,令10-2k=0,得k=5,
故所求常数项为()5=
(方法二)原式=()5=[(x+)2]5=(x+)10.故求原展开式中的常数项,可转化为求(x+)10的展开式中含x5的项的系数,即)5.所以所求的常数项为
12.
(1)由题意得第k+1项为Tk+1=(-2)k,
令6-k=3,解得k=2,
故展开式中含x3项的系数为(-2)2=264.
(2)因为第3k项的二项式系数为,第k+2项的二项式系数为,因为,故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12,解得k=1(舍去)或k=3.
13.
Tk+1=x6-k(-a)k=(-a)k,
令6-k=0,解得k=4,则常数项B=(-a)4,
令6-k=3,解得k=2,则x3的系数A=(-a)2.
∵B=4A,a>0,∴a=2.
14.
(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.
(1+x)3展开式的通项为xk,
(1+2x)4展开式的通项为(2x)k,
f(x)g(x)的展开式含x2的项为1(2x)2+x(2x)+x2×1=51x2.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,
所以+2=12,即m+2n=12,
所以m=12-2n.x2的系数为+4+4(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4(n-)2+,n∈N*,所以当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.
15.
根据题意得=7,即m+n=7①,
(1)f(x)的展开式中x2的系数为
将①变形为n=7-m代入上式得,x2的系数为m2-7m+21=,故当m=3或m=4时,x2的系数的最小值为9.
(2)当m=3,n=4时,x3的系数为=5;当m=4,n=3时,x3的系数为=5.
(3)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)30.003+0.003≈2.02.
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