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第六章 计数原理
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.四个工人,随机分配到三个车间去劳动,不同的分配方法数是(　　)
A.12 B.64 C.81 D.24
2.已知+2!=5,则m=(　　)
A.0 B.2或3
C.1或3 D.3
3.若对于任意的实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2=(　　)
A.3 B.6
C.9 D.12
4.数学上把20 200 202这样的对称数叫回文数,如11,242,5 225都是回文数,则用0,1,2,3,4,5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是(　　)
A.8 B.10 C.11 D.13
5.有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践,且每名学生只去一个地区,其中A地区分配了1名学生的分配方法种数为(　　)
A.120 B.180 C.405 D.781
6.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=2+22+…+230,a≡b(mod 10),则b的值可以是(　　)
A.2 018 B.2 021
C.2 024 D.2 026
7.有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4张,可排出的四位数有(　　)
A.10个 B.12个
C.14个 D.20个
8.学校要安排2名数学老师,3名语文老师共5人在本校以及另外两所学校去监考,要求在本校监考的老师必须是数学老师,且每个学校都有人去,则不同的分配方案种数为(　　)
A.18 B.20 C.28 D.34
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.高二年级安排甲、乙、丙三名同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,每名同学只能选择一个社区进行活动,且多名同学可以选择同一个社区进行活动,下列说法中正确的有(　　)
A.如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有61种
B.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种
C.如果三名同学选择的社区各不相同,则不同的安排方法共有60种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有20种
10.关于(2x2-)5的展开式,下列说法中正确的有(　　)
A.含x5的项的系数为-80
B.二项式系数和为32
C.常数项为10
D.只有第3项的二项式系数最大
11.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究,则下列结论中正确的是(　　)
A.1+
B.第2 022行的第1 011个数最大
C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有　　　　　种.(用数字作答)
13.已知函数f(x)=则当014.(1+sin x)6的展开式中,二项式系数最大的一项的值为,则x在区间[0,2π]上的值为　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知()n展开式中的第3项与倒数第2项的二项式系数之和为55.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
16.(15分)3名女生和5名男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法
(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法
17.(15分)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a7+a8=0.
(1)求n的值;
(2)根据(1)中所求n的值,求|a1|+|a2|+…+|an|的结果.(结果可以用幂指数表示)
18.(17分)随着经济科技的发展,地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保,很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过15站的地铁票价(单位:元)如下表:(x∈N*)
乘坐站数 0票价 2 4 6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过15站.
(1)若甲、乙两人共付车费6元,则甲、乙下地铁的方案共有多少种
(2)若甲、乙两人共付车费8元,则甲比乙先下地铁的方案共有多少种
19.(17分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*.已知=2a2a4.
(1)求n的值;
(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.
附加题
在下面三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.
条件①:第3项与第7项的二项式系数相等;
条件②:只有第5项的二项式系数最大;
条件③:所有项的二项式系数的和为256.
问题:在(2x2-)n(n∈N*)展开式中,
(1)求n的值与展开式中各项系数之和.
(2)这个展开式中是否存在有理项 若存在,将其一一列出;若不存在,请说明理由.
第六章 计数原理
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.C
先安排一位工人,分配到三个车间去劳动,有3种安排方法,同理,再安排一位工人,分配到三个车间去劳动,也有3种安排方法,依此类推,根据分步乘法计数原理共有34=81种分配方法.
2.B
由+2!=5,
得=5+-2!=5+3-2=6,
而m∈N*,m≤3,有=3,=6,=6,
所以m=2或m=3.
3.B
x3=[2+(x-2)]3,
所以a2=2=6.
4. B
满足题目条件的数可以分两类:第1类,当三位数的三个数位上的数都相同时,有111,222,333,444,555,共有5个;第2类,当三位数的三个数位上的数有两个相同时,有141,252,303,414,525,共有5个,所以满足题意的回文数共有10个.
5.C
由题意得,先选1名学生分配到A地,有5种选法,剩下的4名学生在其他三个地区任选一个,方法种数为5×34=405.
6.A
a=2+…+230-1=(1+2)30-1=330-1=915-1=(10-1)15-1=1015×(-1)0+1014×(-1)1+…+101×(-1)14+100×(-1)15-1=1015×(-1)0+1014×(-1)1+…+101×(-1)14-2,除了最后一项,其他项均含有10的倍数,都可以整除10,
所以a除以10的余数为-2+10=8,而2 018除以10余8,故选A.
7.C
根据题意,分三种情况讨论:①取出的4张卡片有3张1,1张2,有1 112,1 121,1 211,2 111,共4个四位数;②取出的4张卡片有3张2,1张1,有1 222,2 122,2 212,2 221,共4个四位数;③取出的4张卡片有2张2,2张1,有1 122,1 212,1 221,2 211,2 121,2 112,共6个四位数,则共有4+4+6=14个四位数.
8. D
根据本校监考人数分为两类:第1类,本校1人监考,有种分配方法,另外4人分配给两所学校,有2,2和3,1两种分配方案,所以总数为)=28(种);第2类,本校2人监考,有种分配方法,另外3人分配给两所学校,有2,1一种分配方案,所以总数为)=6(种).根据分类加法计数原理,所有分配方案总数为28+6=34(种).
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. ABC
安排甲、乙、丙三名同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有53-43=61(种),故A正确.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有52=25(种),故B正确.如果三名同学选择的社区各不相同,则不同的安排方法共有5×4×3=60(种),故C正确.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况,则不同的安排方法共有5+5×4=25(种),故D错误.故选ABC.
10. BC
二项式(2x2-)5的展开式的通项公式为Tk+1=(2x2)5-k(-)k=25-k·(-1)k,对于A,令10-k=5,得k=2,所以含x5的项的系数为23·(-1)2=80,所以A错误;对于B,二项式系数和为25=32,所以B正确;对于C,令10-k=0,得k=4,所以常数项为2·(-1)4=10,所以C正确;对于D,因为二项式(2x2-)5的展开式共有6项,所以第3项和第4项的二项式系数最大,即=10,所以D错误,故选BC.
11.ACD
1+=1+6+=84,=84,故A正确;由题图可知,第n行有(n+1)个数,如果n是奇数,则第和(+1)个数最大,并且这两个数一样大;如果n是偶数,则第(+1)个数最大,即第2 022行中,第1 012个数最大,故B错误;第6行,第7行,第8行的第7个数分别为1,7,28,其和为36;第9行第8个数就是36,故C正确;依题意得,第34行第14个数是,第34行第15个数是,所以,则第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3,故D正确,故选ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.60
分三步:第1步,一等奖有种可能的结果;第2步,二等奖有种可能的结果;第3步,三等奖有种可能的结果,故共有=60种可能的结果.
13.270
当014.
由题意,得T4=sin3x=20sin3x=,
∴sin x=
∵x∈[0,2π],∴x=或x=
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
(1)由题意知第3项与倒数第2项的二项式系数之和为55,得+n=55,
即n2+n-110=0,
解得n=10,或n=-11(舍去).
故n的值为10.
(2)()10展开式的通项是Tk+1=)10-k·(2)k=2k(k=0,1,2,3,…,10),要为有理项,则k必须为6的倍数,
于是k=0或k=6,所以有理项是T1=20x5=x5,T7=26x0=210×64=13 440,
故展开式中的有理项为x5和13 440.
16.
(1)由题意得,女生必须全排在一起,利用捆绑法.将3名女生看作一整体,与5名男生进行全排列,共有种排法,3名女生之间的排列顺序有种,所以共有=4 320种不同的排法.
(2)女生必须全分开,利用插空法.
先将5名男生全排列,共有种排法,这5名男生之间和两端共有6个空,将3名女生进行插空,共有种排法,所以共有=14 400种不同的排法.
17
(1)a7=(-2)7·1n-7=-27,
a8=(-2)8·1n-8=28,
因为a7+a8=0,
即28-27=0,即2,
整理可得2,即2=1,可得n=11.
(2)令x=0,可得a0=1,令x=-1,可得311=a0-a1+a2-…-a11,令x=1,可得-1=a0+a1+a2+…+a11,可得a0+a2+…+a10=,a1+a3+…+a11=<0,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a11|=a0+a2+…+a10-(a1+a3+…+a11)=311,
所以|a1|+|a2|+…+|a11|=311-|a0|=311-1.
18
(1)若甲、乙两人共付车费6元,则其中一人乘坐地铁站数不超过4站,另外一人乘坐地铁站数超过4站且不超过9站,共有=40(种),故甲、乙下地铁的方案共有40种.
(2)若甲、乙两人共付车费8元,则甲比乙先下地铁的情形有两类:
第1类,甲乘地铁站数不超过4站,乙乘地铁站数超过9站且不超过15站,有=24(种);
第2类,甲、乙两人乘地铁站数都超过4站且不超过9站,记地铁第五站至第九站分别为P5,P6,P7,P8,P9,易知甲比乙先下地铁有以下四种情形:
①甲P5站下,乙下地铁方式有种;
②甲P6站下,乙下地铁方式有种;
③甲P7站下,乙下地铁方式有种;
④甲P8站下,乙只能从P9下地铁,共有1种方式,则共有+1=10(种),依据分类加法计数原理,得24+10=34(种),故甲比乙先下地铁的方案共有34种.
19.
(1)因为(1+x)n=x+x2+…+xn,n≥4,所以a2=,a3=,a4=
因为=2a2a4,所以[]2=2,解得n=5.
(2)由(1)知,n=5,则(1+)n=(1+)5=)2+)3+)4+)5=a+b因为a,b∈N*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,从而a2-3b2=762-3×442=-32.
附加题
(1)选①,第3项与第7项的二项式系数相等,则,所以n=2+6=8.令x=1,则(2×12-)8=18=1,则展开式中各项系数之和为1.
选②,只有第5项的二项式系数最大,所以=4,解得n=8.令x=1,则(2×12-)8=18=1,则展开式中各项系数之和为1.
选③,所有项的二项式系数的和为256,则2n=256,解得n=8.令x=1,则(2×12-)8=18=1,则展开式中各项系数之和为1.
(2)由(1)知n=8,则二项式(2x2-)8展开式的通项公式为Tk+1=(2x2)8-k(-)k=(-1)k28-k(k=0,1,2,…,8).依题意可知,当k=0,3,6时,二项展开式的项都是有理项.
所以当k=0时,T1=256x16;当k=3时,T4=-1 792x9;当k=6时,T7=112x2.所以展开式中有理项分别为T1=256x16,T4=-1 792x9,T7=112x2.
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