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期末经典问题探究一 排列组合
类型一 简单定序问题
【例1】有7名学生和老师照相留念，分成两排，前排3人，后排5人，老师要站在中间，他们一共有多少种不同的排法
思路分析：老师必须站在中间，则分为2种情况，即站在前一排中间或站在后一排中间。将除了老师站的位置外的7个位置编号，7人均可站第1位，故有7种情况；6人均可站第2位，故有6种情况……2人均可站第6位，故有2种情况，最后还剩下1人站第7位。
将所有情况相乘就是排法的总数。
7×6×5×4×3×2×2=10080(种)
答：一共有 10080种不同的排法。
针对训练
1.老师和四名小朋友排成一排照相，如果老师必须站在中间，一共有多少种排法
2.6人排成一列，甲、乙必须站在两端，一共有多少种排法
3.7人排成一排，甲必须站两端，乙站最中间，有多少种不同的排法
类型二 分组问题
【例2】某年级有6名数学老师，5名语文老师和7名英语老师，现要从每科中选出2名老师参加教学培训，一共有多少种选法
思路分析：分三组思考。第一组：在6名数学老师里选2名，第1名有6种选法，第2名有5种选法，一共有( )种选法。因为选出的2名老师没有先后之分，所以每2种选法视为1种，即为( )种选法； 第二组：在5 名语文老师里选2名，一共有( 肿选法； 第三组：在7 名英语老师里选2名，一共有( )种选法。 所有情况相乘就是选法的数量。
(种)
答：一共有3150种选法。
针对训练
1.有4名同学去拍照，照相时，必须有一名同学为其他3人拍照，一共有多少种拍照形式 (照相时3人站成一排)
2.一个文艺团队有10名成员，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1人会唱歌，1人会跳舞。有多少种不同的选派方法
3.9名学生中，有6人懂英语，4人懂日语，从中选拔5人参加对外交流活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译。有多少种不同的选拔结果
类型三 相邻问题
【例3】7位小朋友围成一个圆圈做游戏，如果两种排队方法旋转之后重合，就将这两种排队方法看作相同的方法。小红必须在小蓝和小绿中间，有多少种不同的排队方法
思路分析：可把这个问题看作两个排列的嵌套。第一个：小红、小蓝和小绿三人的排列，因为小红必须在小蓝和小绿中间，所以只需排小蓝和小绿两人的顺序。第二个：把小红、小蓝和小绿三人视为一个整体，和其他4人按顺序排列，因为两种排队方法旋转之后重合看作1种，所以每5种排队方法看作1种，故此次排队方法的种数需除以5。
2×(5×4×3×2÷5)=48(种)
答：有48种不同的排队方法。
针对训练
1. A，B，C，D，E五人并排站成一列，若A，B必相邻，则有多少种不同的排法
2.有8本不同的书，其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，要求科技书连在一起，文艺书也连在一起，则有多少种不同的排法
3.某排一共有七个座位，安排甲、乙、丙三人就座，三人相邻(即三个座位相连)的就座方法有多少种
类型四 不相邻问题
【例4】6名小朋友围成一个圆圈做游戏，如果两种排队方法旋转之后重合，就将这两种排队方法看作相同的方法。小绿不能和小蓝相邻，有多少种不同的排队方法
思路分析：可把这个问题看作两个排列的嵌套。第一个：除小绿和小蓝外的其他4人按顺序排列。因为两种排队方法旋转之后重合，即视为1种，所以每4种排队方法视为1种，故此次排队方法的种数需除以4。第二个：小绿和小蓝两人的排列。因为小绿不能和小蓝相邻，所以需排在其他4人的空隙处(每2人之间1个空隙，共4个)。
(种)
答：有72种不同的排队方法。
针对训练
1.5人排成一排，要求甲、乙之间至少有1人，一共有多少种不同的排法
2.2名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种
3. A,B,C,D,E,F6名小朋友站成一排,A和B必须相邻,C和D不能相邻。请问:不同的排队方法有多少种
参考答案：
类型一 简单定序问题
1.4×3×2=24(种)
答：一共有24种排法。
2.4×3×2×2=48(种)
答：一共有48种排法。
3.5×4×3×2×2=240(种)
答：有240种不同的排法。
类型二 分组问题
1.4×(3×2)=24(种)
答：一共有24种拍照形式。
2.唱歌(或跳舞)的未选中既会唱歌又会跳舞的人：5×5=25(种)或3×7=21(种)
唱歌(或跳舞)的选中既会唱歌又会跳舞的人：2×4=8(种)或2×6=12(种)
25+8=33(种)或21+12=33(种)
答：有33种不同的选派方法。
3.英语(或日语)翻译未选中既懂英语又懂日语的人：
(5×4×3÷2÷3)×(4×3÷2)=60(种)或(3×2÷2)×
(6×5×4÷2÷3)=60(种)
英语(或日语)翻译选中既懂英语又懂日语的人：
(5×4÷2)×(3×2÷2)=30(种)或3×(5×4×3÷
2÷3)=30(种)
60+30=90(种)
答：有90种不同的选拔结果。
类型三 相邻问题
1.2×(4×3×2)=48(种)
答：有48种不同的排法。
2.(3×2)×2×(5×4×3×2)=1440(种)
答：科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法有1440种。
3.5×(3×2)=30(种)
答：三人相邻的就座方法有30种。
类型四 不相邻问题
1.(3×2)×(4×3)=72(种)
答：一共有72种不同的排法。
2.(4×3×2)×(5×4-2)=432(种)
答：女生不全相邻的排法有432种。
3.2×(3×2)×(4×3)=144(种)
答：不同的排队方法有144种。

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