资源简介

新高考 成都零诊 圆锥曲线压轴汇编
（2025届、2026届·近2年+四七九中学模拟）
本资料为2024-2025 成都零诊 + 四七九零诊模拟圆锥曲线压轴大题汇编，共 7 道压轴原题，覆盖椭圆、抛物线、双曲线高频考点：定点、定值、面积最值、斜率关系、向量综合。题型贴合成都零诊命题风格，解析规范，适合成都高二期末复习、专题突破、教师备课使用，新高考地区通用。
例1. （2025届成都零诊18题） 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线与抛物线 相交于 两点.
(I) 当直线 的倾斜角为 时,直线 被圆 所截得的弦长为 ,求 的值;
(II) 若点 在 轴上,且 是以 为直角顶点的等腰直角三角形,求直线 的斜率.
例2. （2026届成都零诊18题）过点作直线与抛物线交于，两点.
（1）设为坐标原点，求的值；
（2）若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程；
（3）过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等.
【分析】
（2）根据弦长公式先求，利用中点到轴的距离为半径，建立方程求解即可；
（3）由题知与有相同底边，要证三角形面积相等，转化为证，设点，，同理可得，设点，利用，，三点共线可得，然后即可证，从而得证与的面积相等.
例3.（2025届石室T18） 椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求的取值范围．
例4.（2026届石室T18）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.
（1）当直线过点，且时，求的周长；
（2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积；
（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标.
例5.（2025树德中学T18）
已知椭圆 的左焦点为 F，上顶点为 B，离心率 ，直线 FB 过点 P(1,2)。
(1) 求椭圆 E 的标准方程；
(2) 过点 F 的直线与椭圆 E 相交于 M,N 两点（M、N 都不在坐标轴上），若，求直线 的方程
例6.（2025届成都七中T18）已知点 O 为坐标原点，将向量绕 O 逆时针旋转角后得到向量 。
(1) 若，，求 的坐标；
(2) 若 ，求 的坐标（用表示）；
(3) 若点在抛物线 上，且为等边三角形，讨论这样的 的个数。
例7.（2026届成都七中高二零诊T18）
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆过点，直线 与椭圆相交于不同于 点的 两点，当直线过坐标原点 时，直线 的斜率乘积为 。
(1) 求椭圆的方程；
(2) 直线 分别与直线 相交于 两点，线段 的中点为。
① 若直线 过坐标原点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明：为定值；
② 若，判断直线 是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由。
2新高考 成都零诊 圆锥曲线压轴汇编
（2025届、2026届·近2年+四七九中学模拟）
本资料为2024-2025 成都零诊 + 四七九零诊模拟圆锥曲线压轴大题汇编，共 7 道压轴原题，覆盖椭圆、抛物线、双曲线高频考点：定点、定值、面积最值、斜率关系、向量综合。题型贴合成都零诊命题风格，解析规范，适合高二期末复习、专题突破、教师备课使用，新高考地区通用。
例1. （2025届成都零诊18题） 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线与抛物线 相交于 两点.
(I) 当直线 的倾斜角为 时,直线 被圆 所截得的弦长为 ,求 的值;
(II) 若点 在 轴上,且 是以 为直角顶点的等腰直角三角形,求直线 的斜率.
【分析】
求p，构造p的方程
(2) 垂直条件：，转化为向量积为0
垂线条件：等腰三角形底边中线垂直于底边，即C在AB的中垂线上
【小问1详解】
根据题意, 由题意直线方程
，所以圆心到直线AB距离
由题意：，解得 或者
【小问2解】
设，设中点坐标
则，直线方程 ：，
化简可得： 由于直线过焦点，所以
设直线AB的中垂线： 过 则t
设， 则
由于，所以 ，则
将，代入
化解可得：
所以 所以 的斜率
例2. （2026届成都零诊18题）过点作直线与抛物线交于，两点.
（1）设为坐标原点，求的值；
（2）若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程；
（3）过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等.
【分析】
（2）根据弦长公式先求，利用中点到轴的距离为半径，建立方程求解即可；
（3）由题知与有相同底边，要证三角形面积相等，转化为证，设点，，同理可得，设点，利用，，三点共线可得，然后即可证，从而得证与的面积相等.
【小问1详解】
法一：利用直线方程与抛物线联立，结合韦达定理，通过代数运算求解向量点积.
由题意，直线不与轴重合，设的方程.
代入，并整理得.
由，得或.
设点，，则，.
所以.
法二：利用坐标表示直线，简化计算量
设，则（斜率存在）
直线方程 ：，化简可得：
当直线AB斜率不存在时，直线方程成立。
由于在直线上，所以有
所以
【小问2详解】
由弦长公式，得.
线段的中点到轴的距离.
又，故.
由，得，解得（均满足）.
所以直线的方程为.
【小问3详解】
设点，，同理可得.
又直线的斜率.
由，，得.
设点，由，， 点共线，得.
化简，得.
又直线的斜率，故.
所以，故与的面积相等.
例3.（2025届石室T18） 椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求的取值范围．
【小问1详解】设椭圆的方程为，由题，解得，，因此椭圆的方程为即．
【小问2详解】由题意可知向量起点相同，终点共线，
又由得， 故，即，即，
显然直线斜率存在且不为，设其方程为，
联立方程，消去，得，所以，
设，，则，，
又由得，即，
因此，从而，，
所以，
整理得，显然，
所以，
解得或．经检验，此时，
因此的取值范围是.
例4.（2026届石室T18）已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.
（1）当直线过点，且时，求的周长；
（2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积；
（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标.
【分析】（1）由双曲线的定义得出和，再将两式相加得出，再根据得出的值，则由三角形的周长公式得出的周长.
（2）由直线的斜率之和为零可得直线的倾斜角的大小，从而得出直线方程，再利用三角形面积公式得出的面积.
（3）利用已知条件，分直线的斜率存在与直线的斜率不存在两种情况，从而表示出直线方程，再联立双曲线方程，从而写出韦达定理式，再结合题意和向量共线的坐标表示以及代入法，从而建立方程得出点P的坐标.
【小问1详解】
由题意，如图所示：
根据双曲线定义得：，，
两式相加得，
则，由，得，所以的周长为.
【小问2详解】
解：设直线的倾斜角分别为，
由，得，不妨设，则，
则，可得，，
所以，直线，则，直线，则，所以的面积为.
【小问3详解】
解：设，由，知
若直线斜率不存在，则直线，此时与点重合，不符题意，舍去；
设直线方程为：，与双曲线联立，
化简得，则显然成立，
设交点，
由韦达定理，得：
由，得，
则，所以，
将韦达定理代入，
化简得（※），因为，
所以，由点在双曲线上，
得，则，
则代入（※）式，
所以，
化简得，则，
解得，则点的坐标为.
例5.（2025树德中学T18）
已知椭圆 的左焦点为 F，上顶点为 B，离心率 ，直线 FB 过点 P(1,2)。
(1) 求椭圆 E 的标准方程；
(2) 过点 F 的直线与椭圆 E 相交于 M,N 两点（M、N 都不在坐标轴上），若，求直线 的方程
【分析】
(1) 由椭圆离心率得出 a,b,c 的关系式，结合椭圆中推得 b=c；再写出左焦点 F 与上顶点 B 的坐标，求出直线的方程，将定点代入直线方程求得 c 的值，进而求出 a,b，即可得出椭圆的标准方程。
(2) 由 可得直线平分，转化为与关系；设过点 F 的直线方程，与椭圆方程联立化简，写出韦达定理关系式；再将斜率转化为坐标形式，展开整理后代入韦达定理，建立方程求解直线参数，进而得出直线 的方程。
【小问1详解】由，得到 ，直线斜率
直线 FB 方程，所以
椭圆 E 的标准方程：
【小问2详解】
显然直线斜率存在，不妨设直线：
，直线：
由可知，到直线和直线距离相等
所以
显然，所以，
设设，设直线
联立方程，消去，得，
所以，
代入
解得 或 （舍）
所以直线 的方程：，即：
例6.（2025届成都七中T18）已知点 O 为坐标原点，将向量绕 O 逆时针旋转角后得到向量 。
(1) 若，，求 的坐标；
(2) 若 ，求 的坐标（用表示）；
(3) 若点在抛物线 上，且为等边三角形，讨论这样的 的个数。
【解析】
设，将向量绕 O 逆时针旋转角后得到向量，则
则
【小问详解】
（1）若， 所以
【小问2详解】
【小问2详解】
（2）若，
【小问3详解】
（3）设(当， 由（2）知
点在抛物线 上，得
消t，
由于知，确定，则有唯一得值，所以讨论的个数等价于讨论方程的解（除去 时的非零解）的个数
令
令
1） 则 且方程有相同的解
2） 方程无解，有一解
3） 方程均无解
4） 方程无解，有一解
5）或方程无解，有两解
6）方程 均有两解，且都不相同
综上所述：
当时，的个数为0
当或时，的个数为1
当或时，的个数为2
当时，的个数为4
例7.（2026届成都七中高二零诊T18）
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆过点，直线 与椭圆相交于不同于 点的 两点，当直线过坐标原点 时，直线 的斜率乘积为 。
(1) 求椭圆的方程；
(2) 直线 分别与直线 相交于 两点，线段 的中点为。
① 若直线 过坐标原点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明：为定值；
② 若，判断直线 是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由。
【分析方法】
过原点 + 斜率积用原点对称 + 椭圆斜率积结论秒杀方程
①点斜式求交点 + 中点坐标 + 椭圆代换消元
②得到斜率为定值，斜率之积为定值，直线过定点，注意消元技巧。
【小问1详解】
直线过坐标原点 时，设
所以，椭圆的方程：
【小问2详解】
设
令，则，同理,
由于，
所以
设，设直线
，则，同理,
所以，化简
消元：
联立方程，消去，得，
则，，，
代入：
解得：，或者（舍去）
综上：直线过定点
2

展开更多......

收起↑