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2025—2026 学年第二学期五月质量监测
九年级 数学试卷
参考答案与评分标准
一、选择题(每小题 3分，共 24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B B C D B
二、填空题
题号 9 10 11 12 13
答案 3ab(2a-b)
备注：11题没有括号不给分
13题简析：
解：设 EG＝a，
∵FG是△ABC的中位线，
∴BF＝CF，BG＝AG，FG∥CA，
∵E是 AG的中点，
∴AE＝EG＝a，∴BG＝AG＝2EG＝2a，
∵∠A＝∠CFE＝45°，
∴∠BGF＝∠A＝45°，
∴∠B+∠BEF＝∠CFE＝45°，∴∠EFG+∠BEF＝∠BGF＝45°，
∴∠EFG＝∠B，
∴△EBF∽△EFG，
∴EF：BE＝EG：EF，∴EF2＝3a2∴ ．
如图，过点 E作 EK⊥BC于点 K，
∴△EFK为等腰直角三角形，
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∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
三、解答题
14. 原式= …………………………………4分
= …………………………………5分
= ……………………………………… 6分
备注: 1.每个点得 1分
2. 如没有第二步扣 1分；
3. 直接出最终结果得 1分
15.解：原式=
……………………………2分
= ……………………………3分
……………………………4分
……………………………5分
∵x为满足﹣3＜x≤0的整数，且 x≠﹣1，x≠﹣2，
∴x＝0，……………………………6分
∴原式 ……………………………7分
……………………………8分
备注：1.直接得 x＝0扣 1分；
2.代入求值要体现代入的过程，没有体现代入过程要扣 1分；
3.没有化简直接代入，计算正确得 2分，计算不正确不得分.
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16. （1）m＝ 64 ，n＝ 120 ；…………………………………………2分（每空 1分）
（2）2000 880（人） …………………………………………3分
建议：大力宣传保护视力的重要性，并加大学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做眼保健
操．…………………………………………………………4分
备注：言之有理皆给分
（3）画树状图
……………………6分
则共有 12种等可能情况，其中被抽取的 2人恰好是 1名男生和 1名女生共有 6种情况，…7分
P(抽取的 2人恰好是 1名男生和 1名女生)= ．…………8分
备注：1.此题如使用列表法，表格中必须是坐标形式，如（女，女）否则不给分.
2.必须用文字语言描述共有多少种等可能情况，及满足情况的个数，否则扣 1分.
17.（1）解：
如图所示：直线 EF，⊙O即为所求； ………………………………3分
备注：1.结论必须指明是直线 EF 或垂直平分线 EF,若表述为“如图所示、即为所求”不给分；
（尺规作图直线 EF 1 分，⊙O 1 分，下结论 1 分）
（2）证明：如图，连接 ，
∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA ………………………………4分
∵AD是∠BAC的平分线，
∵∠CAD=∠OAD
∵∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC
又∠C=90°∴∠ODB=∠C=90° ………………………………5分
∴BC⊥OD 又 OD是⊙O的半径，
是⊙O的切线．………………………………6分
备注：其他解法酌情给分
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18. 问题一、
解：（1）设 A类图书每本的进价是 x元，B类图书每本的进价是 y元．……………………………1分
根据题意，得 ， ………………………………2分
解得 ………………………………3分
答：A类图书每本的进价是 20元，B类图书每本的进价是 25元．………………………………4分
问题二、 ① …………………5分
备注：1.设未知数没有单位 扣 1分；
2.如答 没有括号不给分.
W＝（40-20）a+（60﹣25）（160 ）………………………………6分
＝－8a+5600 ………………………………7分
∵－8＜0，∴W随着 a的增大而减小，
根据题意可得： a≥100
∴当 a＝100 时，总利润最大，最大费用是 W＝－8a+5600=－8×100+5600＝4800（元），…………8分
此时 ＝160﹣80＝80（本）
答：购买 A类图书 100 本，B类图书 80 本，则卖出所有图书的总利润最大为 4800 元。………………9分
19. 解：√、√ （每空 2分）………………………………4分
由题意得，“三倍点”所在的直线为 y＝3x，
①联立 y＝﹣2x+1和 y＝3x并整理得：5x＝1，
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则 x ，∴y ，
故函数 y＝﹣2x+1的图象上存在“三倍点”正确；
②联立 和 y＝3x并整理得： x2﹣2x+2＝0，
∵Δ＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故函数 的图象上有且只有一个“三倍点”正确；
（2）证明：联立 y＝3x和反比例函数表达式得： ，
∴ 3x+m，
整理得：﹣3x2+mx﹣k＝0，
设方程的两根为 x1，x2，∴x1+x2 m，………………………………5分
则点 P的横坐标为 （x1+x2） m， ………………………………6分
当 x m时，y＝﹣3x+m m，
∴y＝3x，
∴点 P是“三倍点”；………………………………7分
（3）﹣3＜c≤5或 c＝﹣4．………………………………10 分
备注：1.答出 c＝﹣4给 1分
2.答出﹣3＜c≤5给 2分
由题意得，“三倍点”所在的直线为 y＝3x，
在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数 y＝﹣x2﹣x+c的图象上有且只有一个“三倍点”，
即在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数 y＝﹣x2﹣x+c和 y＝3x有且只有一个交点，
令 3x＝x2﹣x+c，整理得 x2+4x﹣c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16+4c＝0，
解得 c＝﹣4，此时，x＝﹣2，符合题意； ………………………………7分
当 x＝﹣3时，c＝（﹣3）2+4×（﹣3）＝﹣3，
当 x＝1时，c＝12+4×1＝5， ………………………………8分
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由图看出，当 c＝﹣3时，函数 y＝﹣x2﹣x+c有两个“三倍点”，
∴﹣3＜c≤5， ………………………………9分
综上，c的取值范围为﹣3＜c≤5或 c＝﹣4．
故答案为：﹣3＜c≤5或 c＝﹣4． ………………………………10 分
20. 解：解：（1）30°，BP⊥AC（或垂直）； （每空 2分）………………………………4分
（2）CE＝2BE，（或 ）………………………………5分
理由：如图，把△ABE绕 B顺时针旋转 60°得到△CBQ，
∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，∠AEB＝∠BQC．
∴△BEQ为等边三角形， ………………………………6分
∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ，
∵点 E在线段 BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，
∴∠AEB＝150°，∠BEC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠BQC＝150°，
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∴∠EQC＝150°﹣60°＝90°，∴∠ECQ＝90°﹣60°＝30°．
∴CE＝2EQ＝2BE；………………………………7分
备注：其他解法酌情给分
（3）①如图，当 P在线段 OA上，记 BP与 AD交于点 H，
∵AH∥BC，
∴∠AHB＝∠CBH，
∵∠ABC＝60°，∠BAD＝120°＝∠BEG，
∴△HAB∽△BEG，
∴ ，
设 FG＝x，则 EF＝BE＝2x，
∴EG＝3x，
∴ ，
∴ ，………………………………8分
∵AD∥BC，
∴△APH∽△CPB，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝7， ，………………………………9分
②如图，当 P在线段 OC上时，延长 AD交 BP于 H，
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同理可得：∠H＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°，
∴△BAH∽△GEB，
设 BE＝EF＝2m，而 BE＝2FG，则 GF＝EG＝m，
∴ ，
∴AH＝14，………………………………10 分
同理：△APH∽△CPB， 2， ，………………………………11 分
综上：AP的长为 或 ．
备注：其他解法酌情给分
第 8页（共 8页）2025一2026学年第二学期五月质量监测
九年级
数学试卷
(试卷总分：100分
考试时间：90分钟)
请将答案写在答题卷上
第一部分选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其
中只有一个是正确的)
L.数学中有许多精美的曲线.下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
A.
星形线
,三叶玫瑰线
C.阿基米德螺线
D,笛卡尔叶形线
2.古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如
今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实.2026年春节，深圳成为反向春运”的热门
目的地，深圳铁路累计发送旅客1234.2万人次.数据“1234.2万”用科学记数法表示为()
A.1234.2×104B.1234.2×10°C.1.2342×10
D.1.2342×108
3.下列运算正确的是()
A.x+3y=3yB（xy°=xy
C.（x+3)2=x2+9D.x2÷x8=x
4.如图，AB∥CD,∠1=50°，则∠2的度数是()
A.1409
B.130°
C120°
D.110°
5.某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，7位评委分别给出了评分，去掉一个
最高分、一个最低分后，剩下的5个评分与原始的7个评分相比一定不发生变化的是（)
A.平均数
B.中位数
C.众数
0、极差
6.下列命题正确的是（)
A.平分弦的直径垂直于弦
B.两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似
C.方程子-x+1=0没有实数根
。如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
九年级数学第1页，共6页
7.由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳
全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持
相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是()
A.78.44(1-x)2=253.45
B.78.44(1+x)/=253.45
c.78.44(1+2x)=253.45
D.78.44+78.44(1+x+78.441+x2=253.45
8.如图，已知口ABCD的顶点A在函数y=(x>0)的图象上，点B,C,D在坐标轴上，
y
连接OA交BC于点E.若SABOE=3,S四边形AECD=7,则k的值为()
A.4
B.8
C.10
D.14
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.因式分解：6a2b-3ab2=
10.中国古代的“五经”是指《诗经》、《尚书》、《礼记》、：《周易》、《春秋》，若从这5部著
作中随机抽取一本，则恰好选到《礼记》的概率是
11.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比例.
如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若4C=20Cm,则BC的长为
dm.
(结果保留根号)
为
12.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A,B,C,D,O都在格点（小
正方形的顶点力上，AB和C⑦所在圆的圆心均为点O,则阴影部分的面积为
C
第11题图
第12题图
第13题图
13.如图FG是△ABC的中位线，B是AG的中点，∠A=∠CFE=45°，则S的值为
BE
九年级数学第2页，共6页

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