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四川嘉祥教育集团2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导运算错误的是（）
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数满足，则在处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4=（ ）
A. B. C. D.
6.在等比数列中，“数列递减”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若，恒成立，则的最大整数值为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数的零点为，则（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列{ an }是等差数列，Sn为其前n项和，{ bn }是等比数列，Tn为其前n项和，则必有（ ）
A. a2+ a4+ a9 = 3 a5 B. b3b5b7b9= b64
C. S6，S12－S6，S18－S12成等差数列 D. T6，T12－T6，T18－T12成等比数列
10.下列不等关系中，正确的是（）
A. B.
C. D.
11.已知函数f（x）= cos x+ ln x，将f（x）的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{ xk }，对于任意的正整数k，则（ ）
A. x2－x1＞π B. x2k是极小值点
C. x2k+2－x2k＜2π D. f（x2k）＜f（x2k+2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间是 ．
13.若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则 ．
14.已知为各项均为正整数的递增数列，且满足，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9=45，a3，a4，a7成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求使Sn＞an成立的n的最小值.
16.(本小题15分)
已知函数在处取得极值，且．
(1)求解析式（用表示）；
(2)若，求在闭区间上的最值．
17.(本小题15分)
已知数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
18.(本小题17分)
已知函数，其中a∈R．
（1）令，讨论y= g（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在[ 0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+ x2= 2 ln3－6，求的值．
19.(本小题17分)
（1）证明：当时，；
（2）在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，…，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．
例如，（为常数）．
（i）求的值并证明当时，；
（ii）若数列满足，，记，求证：．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】AD
11.【答案】BD
12.【答案】、
13.【答案】
14.【答案】 ； ； ； ； ； ；
15.【答案】an=2n-5 6
16.【答案】解：（1），则有，解得，
即，
检验：，
则，即时，恒成立，
在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，若时，，
若，，
则在、上单调递增，在上单调递减，
此时是该函数极值点，符合题意；
当时，若时，，
若，，
则在、上单调递增，在上单调递减，
此时是该函数极值点，符合题意；
故的解析式为，；
（2）若，则，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，
又，，
故的最大值为.

17.【答案】解：（1），
由，故，则，
故，又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，即，
则，
令，数列的前项和为，
则，
则，
则
，
则，
故.

18.【答案】(1) 函数g(x) =-3ax, 定义域为R, 求导得g'(x) =-3a.
当a0时, g'(x) > 0恒成立, 则函数g(x) 在R上单调递增.
当a>0时, 令g'(x) =0得x=3a.当x<3a时, g'(x) < 0;
当x>3a时, g'(x) > 0.故函数g(x) 在(-,3a) 上单调递减, 在(3a, +) 上单调递增.
(2)函数f(x)=--3ax,求导得f'(x)=-ax-3a.
由函数f(x) 在[0, +) 上单调递增, 得f'(x)0在[0, +) 上恒成立,
即a(x+3)a在[0,+)上恒成立.
令h(x)=,x[0,+),则h'(x)=>0对x0都成立,
故h(x)在[0,+)上单调递增,最小值为h(0)=,因此a.故a的取值范围是(-,].
(3)f'(x)=-a(x+3)=0有两个不同实根<.
令t=x+3,则=+3,=+3满足=c,其中c=>0.
由+=23-6得+=(+3)+(+3)=23.
设k=>1,则=.由=得=k,即=.
于是+=(1+k) ==23.
令F(k)=,F'(k)=.
令m(k)=k-2k-,m'(k)=1-+=>0,
所以F'(k) 在(1, +) 上单调递增.F'(k)>0,F(k) 在(1, +) 上单调递增
注意到F(3)===23,所以k=3是方程的唯一解.
因此==k=3,故所求值为3.
19.【答案】解：（1）令，，则恒成立，
故在上单调递增，则，
即有在上恒成立；
令，，则恒成立，
故在上单调递增，则，
即有在上恒成立；
综上可得：当时，；
（2）（i）根据帕德近似的定义，令，，
有，，，
令，可得，即有；
令，，
则，
令，，
则
，
故在上单调递减，则，
故在上单调递减，则，
则当时，，即；
（ii）当时，可令，，则，
当时，，且，
则，由在上单调递增，故，
即有，则，，
，，，
又，
故
；
由（i）知，，则，
故，则，
故，即，则，，，
即，
即，又，故，
故，
故
；
综上可得.

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