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2025-2026学年广东省湛江市赤坎区寸金培才学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A. B. 0 C. D. 0.1010010001
3.是关于x、y的方程x+my=5的一个解，m的值是（　　）
A. 7 B. 3 C. -7 D. -3
4.若方程2x+□=7是二元一次方程，则“□”可以是（　　）
A. 5 B. 3y C. xy D. -7
5.在数轴上表示下列四个数：-1，，，π，则距离原点最远的数是（　　）
A. -1 B. C. D. π
6.下列运算正确的是（　　）
A. （-3）2=-9 B. C. D.
7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=122°，∠2的度数为（　　）
A. 32°
B. 58°
C. 68°
D. 78°
8.在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置.若点A（5，2）平移后的对应点为A′（2，-2），则点B（-3，4）平移后的对应点B′的坐标是（　　）
A. （0，8） B. （-6，0） C. （-7，1） D. （0，0）
9.在“探索与发现”展厅有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点A，B，C，D，E，F按照规定的目标表示方法，目标点A，B的位置分别表示为（6，120°），（3，30°），按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，其中表示正确的是（　　）
A. C（4，180°） B. D（90°，2） C. E（4，330°） D. F（1，160°）
10.在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是3km/h,下山速度是6km/h,如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为x km,下坡山路为y km,则列方程组为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知y-2x=7，若用含x的代数式表示y,则y= .
12.一个正数的两个平方根分别是1-2a和a-4，则a的值是 .
13.判断命题“如果n＜2，那么n2＜4”是假命题可以举出一个反例，则n的值可以为 .（写出一个即可）
14.已知点A（m-1，2），点B（3，2m），且AB∥y轴，则m的值为 .
15.把一副直角三角尺按如图方式摆放，60°角的顶点C与45°角的顶点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠FDN的度数为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
（1）计算：；
（2）求x的值：（x-1）2=16.
17.(本小题7分)
解方程组：.
18.(本小题7分)
如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上.
（1）∠DAB+∠B等于多少度？
（2）若∠B=∠D，AB与CD平行吗？证明你的结论.
19.(本小题9分)
如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是（-2，2），实验室的位置是（1，3）.
（1）根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______；
（3）已知办公楼的位置是（0，2），教学楼的位置是（2，1），在图中标出办公楼和教学楼的位置；
（4）如果1个单位长度表示30m,那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______m.
20.(本小题9分)
延时课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于x,y的二元一次方程组的解满足2x+3y=0③，求m的值.
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为______，y的值为______；
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值.
21.(本小题9分)
【问题提出】
正方形ABCD的边长为1，求对角线AC的长.
【情境再现】
老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求.
【问题探究】
（1）按上述情景，求对角线AC的长.
（2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线AC的长.
【拓展应用】
（3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形ABCD.
22.(本小题13分)
活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程x-y=0的一个解可以用一个点（1，1）表示出来.标出一些以方程x-y=0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上.在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程x-y=0的解.一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象.二元一次方程的图象是一条直线.
（1）根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象；
（2）点P（t,m）、Q（1-2t,n）分别是2x+y=4、x-y=-1图象上的点.
①m-n是否为定值？若是，则求出m-n的值；若不是，则说明理由.
②点R在坐标轴上，当t=2时，S△PQR=2，求出R的坐标.
23.(本小题14分)
如图，在河岸EF和河岸GH（EF∥GH）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线AM自AF逆时针旋转至AE便立即回转，灯B发出射线BN自BG逆时针旋转至BH便立即回转.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足.
（1）a=______ ，b=______ ；
（2）如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（t＜90），问t为何值时，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，连接AB，∠BAE=60°，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作CP⊥AC交GH于点P，则在灯A自AF转至AE之前，的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出其取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】2x+7
12.【答案】-3
13.【答案】-3（答案不唯一，n≤-2即可）
14.【答案】4
15.【答案】15°
16.【答案】解：（1）
=3+2--2
=3-；
（2）开平方，得x-1=±4，
解得x=5或x=-3．
17.【答案】．
18.【答案】解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°．
（2）AB∥CD，
理由：由（1）得，∠DAB+∠B=180°．
又∵∠B=∠D，
∴∠DAB+∠D=180°，
∴AB∥CD．
19.【答案】解：（1）如图所示，
．
（2）（-5，4），（2，4）．
（3）办公楼和教学楼的位置如图所示，
．
（4）240．
20.【答案】3;-2 m=1
21.【答案】；
见解析，；
见解析．
22.【答案】见解析；
①m-n是定值，值为2．②R（0，0）或（4，0）或．
23.【答案】（1）4;1；
（2）t为或时，两灯的光束互相平行；
（3）不变，如图2，过C作CQ∥GH，

∵GH∥EF，
∴CQ∥EF，
设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAE=180°-4t，
∴∠BAC=60°-（180°-4t）=4t-120°，
又∵GH∥EF∥CQ，
∴∠GBC=∠BCQ，∠ACQ=∠CAE，
∴∠BCA=∠CBG+∠CAE=t+180°-4t=180°-3t，
而∠ACP=90°，
∴∠BCP=90°-∠BCA=90°-（180°-3t）=3t-90°，
∴=.

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