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2025-2026学年河南郑州市第八中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　）
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
3.设a＞b,则下列不等关系正确的是（　　）
A. a+3＜b+3 B. -2a＞-2b C. ＞ D. a-3＜b-3
4.用反证法证明命题：“已知△DEF，DE=DF，求证：∠E＜90°.”第一步应先假设（　　）
A. ∠E≥90° B. ∠E＞90° C. ∠E＜90° D. DE≠DF
5.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　）
A. x2-x-2=x（x-1）-2 B. （a+b）（a-b）=a2-b2
C. x2-4=（x+2）（x-2） D. x-1=x（1-）
6.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定RtABD和Rt CDB全等，则需要添加的条件是（　　）
A. ∠B=∠D B. ∠ACB=∠CAD C. AB=CD D. AD=CB
7.已知|3-a|=a-3，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
8.下列多项式，①x2+y2，②-x2+y2，③x2-y2+2xy,④-x2-y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.如图，△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°.将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为（　　）
A. B. 4 C. D. 6
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　）
A. DC=DE
B. AC=AE
C. AD=BD
D. ∠BAC=∠BDE
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.用适当的符号表示下列关系：x2是非负数 .
12.因式分解：a（b-c）+c-b= .
13.如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是______．
14.如图，一次函数y1=x-3与y2=ax+b的图象相交于点P（5，2），则关于x的不等式x-3＞ax+b的解集是 .
15.如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD=∠CAB，∠E1BD=∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD=∠E1AB，∠E2BD=∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C=m°，则∠En= 度.
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解不等式：
（1）3-x＜2x+6；
（2）.
17.(本小题6分)
解不等式组，并写出所有非负整数解.
18.(本小题8分)
分解因式：
（1）2mn+4m2；
（2）2x2-18；
（3）（m+n）2-6（m+n）+9；
（4）（x2+y2）2-4x2y2.
19.(本小题12分)
某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下：
甲商场优惠条件：第一台按原价收费，其余的每台优惠15%；
乙商场优惠条件：每台优惠10%.
（1）设公司购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式.
（2）若该公司需购买5台电脑，在哪家商场购买更优惠？
（3）若只考虑在其中一家商场购买电脑，请你帮该公司设计更省钱的购买方案.
20.(本小题15分)
【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x-3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法.这时，我们可以采用下面的办法：
x2+2x-3=x2+2×x×1+12-1-3=（x+1）2-22.
（1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x-3的因式分解：
（2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7；
（3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2-4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值.
21.(本小题12分)
课本再现
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
（1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等；
（2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC=60°，求∠PAC的度数.
22.(本小题12分)
如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
（1）求证：BD=CE；
（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC=∠AFB=∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x2≥0
12.【答案】（a-1）（b-c）
13.【答案】10
14.【答案】x＞5
15.【答案】
16.【答案】x＞-1 x≥1
17.【答案】不等式组的解集为x＜4，则非负整数解为 0，1，2，3．
18.【答案】2m（n+2m） 2（x+3）（x-3） （m+n-3）2 （x+y）2（x-y）2
19.【答案】解：（1）由题意可得，
y1=4000+（x-1）×4000×（1-15%）=3400x+600，
y2=4000×（1-10%）x=3600x，
即y1=3400x+600，y2=3600x；
（2）当x=5时，y1=3400×5+600=17600，y2=3600×5=18000，
∵17600＜18000，
∴该公司需购买5台电脑，在甲家商场购买更优惠；
（3）当3400x+600＜3600x时，得x＞3，即当x＞3时，在甲商场购买更省钱；
当3400x+600=3600x时，得x=3，即当x=3时，在两家商场购买一样；
当3400x+600＞3600x时，得x＜3，即当x＜3时，在乙商场购买更省钱．
20.【答案】（x+1）2-22=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1） （x+7）（x+1） x=2，y=-3时，原式有最小值=5
21.【答案】过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F，如图所示：
∵BG，CG是△ABC的角平分线，
∴GE=GD，GE=GF，
∴GE=GD=GF，
∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等；
60°
22.【答案】证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
（2）∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠CGF，
∴∠BFC=∠BAC=60°，
∴∠BFE=120°，
过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，

又∵△ABD≌△ACE，BD=CE，
∴由面积相等可得AM=AN，
在Rt△AFM和Rt△AFN中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），
∴∠AFM=∠AFN，
∴∠BFC=∠AFB=∠AFE=60°．
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