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北师大版（2024）八年级下册 3.2 图形的旋转 分层练习
生活中的旋转现象
1下列生活中的实例是旋转的是（　　）
A.钟表的指针的转动
B.汽车在笔直的公路上行驶
C.传送带上，瓶装饮料的移动
D.足球飞入球网中
2下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（　　）
A.① B.② C.③ D.④
3有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过5分钟，分针旋转了 ．
5小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印 （填“能”或“不能”）通过旋转与右手手印完全重合在一起．
6为了亮化紫琅湖景区，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次与QP垂直之前，求两灯的光束互相垂直时A灯旋转的时间是多少秒？
7我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置A运动到位置A′．
（1）上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？
（2）运动有何共同点？
旋转定义
1如图，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是（　　）
A. B. C. D.
2如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，已知OA=OB=8 cm.使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，则圆的半径AB不可能是（　　）
A.10 cm B.13 cm C.15 cm D.17 cm
3如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（　　）
A.点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B.点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C.点A是旋转中心，点C和点E是对应点
D.点D是旋转中心，点A和点D是对应点
4如图，△ABC绕点O旋转70°得到△A'B'C'，则：
（1）旋转中心是 ，旋转方向是 ．旋转角为∠ =∠ =∠ °；
（2）线段AB的对应线段是 ，线段 BC的对应线段是 ，线段 AC的对应线段是 ；
（3）∠BAC的对应角是 ，∠ABC的对应角是 ．
5如图，正方形网格中每个方格边长为1，△ABC和△A′B′C的顶点均在格点上，并且△A′B′C是由△ABC旋转得到的．根据所给信息，填空：
（1）旋转中心为点 、旋转角的度数为 、旋转方向为 （顺时针或逆时针）；
（2）连结BB′，则四边形ACB′B的面积是 ．
6如图，△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C，再将△A'B'C绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，求平移的距离.
旋转的性质—与角的大小
1如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，则∠APB等于（　　）
A.120° B.135° C.150° D.160°
2如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=50°，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A′BC′，若点C′恰好落在线段AC上，AB，A′C′交于点D，则∠A′DB等于（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
3如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB1C1，∠C=90°，若∠BAC1=18°，∠B=60°，则旋转角∠CAC1= 度．
4如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转6秒时，则∠COQ的度数为 ；
（2）第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为 ．
5如图，D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=95°，求∠BED的大小．
旋转的性质—与线段长度或图形面积
1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为（　　）
A.2 B. C.2 D.
2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，当A1，B1，A三点共线时，AA1的值为（　　）
A.12 B.8 C.6 D.8+4
3如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点），若点B'恰好落在△ABC边上，则点A到直线A′C的距离是 ．
4如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=，求BD的长．
5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，且AC在直线L上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，…，按此规律继续旋转，得到点P2024为止，求AP2024等于多少.
中心对称性质
1如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC=2，BO＝，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　）
A.4 B.4 C. D.2
2如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（　　）
A.点G B.点H C.点I D.点J
3如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（　　）
A.点P B.点Q C.点M D.点N
4如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=4，OD=3，则阴影部分的面积之和为 ．
5如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
6已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
中心对称图形
1围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4 000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A. B. C. D.
2云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列云纹图案中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3下列4种图案中，是中心对称图形的有 个．
4如图，两个全等的“心”形有一个公共点O，且点C，O，E在同一条直线上，下列说法中：
①这两个“心”形关于点O成中心对称；
②点C，E是以点O为对称中心的一对对称点；
③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；
④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形．
正确的有 ．（只填你认为正确的说法的序号）
5在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．有些汉字或字母是轴对称图形，请你举例说明某些汉字或字母既是中心对称图形，又是轴对称图形．
关于原点对称的点的坐标
1在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点的对称点P'的坐标是（　　）
A.（-2，-3） B.（-3，-2） C.（-2，3） D.（-3，2）
2若点A（0，2）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A.（2，0） B.（-2，0） C.（0，2） D.（0，-2）
3已知点P（x,-2）与点Q（4，y）关于原点对称，则x+y的值是（　　）
A.2 B.-2 C.-4 D.4
4若点A（m,1）与B（-3，n+1）关于原点中心对称，则（m+n）2023的值为 ．
5在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是 ；关于y轴的对称点是 ；关于原点的对称点是 ．
6如图．
（1）在直角坐标系中，分别描出点A，B，C关于原点O的对称点A1，B1，C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并分别依次连接点A，B，C和点A1，B1，C1．
（2）描述△ABC和△A1B1C1各对应顶点坐标之间的关系;
（3）△A1B1C1是由△ABC经怎样的变化得到的？
7如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，-2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
北师大版（2024）八年级下册 3.2 图形的旋转 分层练习（参考答案）
1生活中的旋转现象
1下列生活中的实例是旋转的是（　　）
A.钟表的指针的转动
B.汽车在笔直的公路上行驶
C.传送带上，瓶装饮料的移动
D.足球飞入球网中
【答案】A
【解析】A.钟表指针的运动，属于旋转；
B.行驶的汽车，属于平移；
C.传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移；
D.足球飞入球网中，属于平移．
2下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（　　）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】C
【解析】①由M顺时针旋转90°得到，故①正确；
②由M逆时针旋转90°得到，故②正确；
③无法由M旋转得到，故③错误；
④由M顺时针旋转360°得到，故④正确．
3有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：
②传送带的移动，是平移，故不符合要求；
③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；
④风车的转动，是旋转，故符合要求；
⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；
⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求．
4时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过5分钟，分针旋转了 ．
【答案】30°
【解析】∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
∴时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为360÷60=6°，
∴经过5分钟，分针旋转了5×6°=30°．
5小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印 （填“能”或“不能”）通过旋转与右手手印完全重合在一起．
【答案】不能
【解析】因为无论怎么旋转，两个图形都不能重合．
6为了亮化紫琅湖景区，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次与QP垂直之前，求两灯的光束互相垂直时A灯旋转的时间是多少秒？
【答案】解　设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次与QP垂直需要90÷10=9（秒），
∴t≤9-2，即t≤7．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相垂直：
如图，∠MAM'=30t, ∠AFB =∠PBP' =10（2+t），
∠MAM'-∠AFB=90°．
30t-10（2+t）=90，
解得t=5.5.
7我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置A运动到位置A′．
（1）上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？
（2）运动有何共同点？
【答案】解　（1）上述几种运动是做曲线运动；
（2）运动共同点是属于旋转．
2旋转定义
1如图，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是
2如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，已知OA=OB=8 cm.使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，则圆的半径AB不可能是（　　）
A.10 cm B.13 cm C.15 cm D.17 cm
【答案】D
【解析】根据题意可得，
8-8＜AB＜8+8，
即0＜AB＜16．
所以圆规的半径不可能是17．
3如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（　　）
A.点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B.点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C.点A是旋转中心，点C和点E是对应点
D.点D是旋转中心，点A和点D是对应点
【答案】C
【解析】∵如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，
∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．
故C正确．
4如图，△ABC绕点O旋转70°得到△A'B'C'，则：
（1）旋转中心是 ，旋转方向是 ．旋转角为∠ =∠ =∠ °；
（2）线段AB的对应线段是 ，线段 BC的对应线段是 ，线段 AC的对应线段是 ；
（3）∠BAC的对应角是 ，∠ABC的对应角是 ．
【答案】（1）O　　顺时针　　AOA'　　BOB'　　COC'　　70
（2）A'B'　　B'C'　　A'C'
（3）∠B'A'C'　　∠A'B'C'
【解析】（1）△ABC绕点O旋转70°得到△A'B'C'，则旋转中心是O，旋转方向是顺时针，∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=70°.
（2）由旋转的性质得出：线段AB的对应线段是A'B'，线段BC的对应线段是B'C'，线段AC的对应线段是A'C'.
（3）由旋转的性质得出：∠BAC的对应角是∠B'A'C'，∠ABC的对应角是∠A'B'C'．
5如图，正方形网格中每个方格边长为1，△ABC和△A′B′C的顶点均在格点上，并且△A′B′C是由△ABC旋转得到的．根据所给信息，填空：
（1）旋转中心为点 、旋转角的度数为 、旋转方向为 （顺时针或逆时针）；
（2）连结BB′，则四边形ACB′B的面积是 ．
【答案】（1）C　　90゜　　顺时针　　（2）16
【解析】（1）由图形可知，旋转中心为点C，旋转角的度数为90°，旋转方向为顺时针；
（2）由图形可知，S△ABC=S△BCB'=×4×4=8，
∴四边形ACB′B的面积为4×4=16，
故答案为：16．
6如图，△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C，再将△A'B'C绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，求平移的距离.
【答案】解　∵将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，
∴A'B'=A'C，
∵将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，
∴AB=A'B'=5，∠B=∠A'B'C=60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴A'B'=B'C=5，
∴BB'=3，
∴平移的距离为3，
3旋转的性质—与角的大小
1如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，则∠APB等于（　　）
A.120° B.135° C.150° D.160°
【答案】C
【解析】连接PM，由题意可知AM=AP=6，
∵旋转角的度数为60°，
∴∠PAM=60°．
∴△APM为等边三角形，
∴PM=AP=AM=6；
∵BM=PC=10，BP=8，PM=6，
∴PM2+BP2=BM2，
∴△BPM为直角三角形，且∠BPM=90°
∴∠APB=∠BPM+∠APM=90°+60°=150°．
故选：C．
2如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=50°，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A′BC′，若点C′恰好落在线段AC上，AB，A′C′交于点D，则∠A′DB等于（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】B
【解析】∵将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转后得到△A′B′C′，
∴BC=BC'，∠C=∠A'C'B，
∴∠C=∠BC'C=50°，
∴∠AC'D=180°-50°-50°=80°，
∵∠ABC=90°，∠C=50°，
∴∠A=40°，
在△ADC'中，∠ADC'=180°-∠A-∠AC'D=180°-40°-80°=60°，
∴∠A'DB=∠ADC'=60°.
3如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB1C1，∠C=90°，若∠BAC1=18°，∠B=60°，则旋转角∠CAC1= 度．
【答案】48．
【解析】∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∵∠BAC1=18°，
∴∠CAC1=∠BAC1+∠CAB=18°+30°=48°．
4如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转6秒时，则∠COQ的度数为 ；
（2）第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为 ．
【答案】（1）90　　（2）12或30
【解析】（1）当旋转6秒时，∠AOP=6×10°=60°，
∵∠AOP+∠BOQ=90°，
∴∠BOQ=30°，
∵∠BOC=60°，
∴∠COQ=∠BOC+∠BOQ，
=60°+30°
=90°.
（2）∵∠BOC=60°且OQ所在直线恰好平分∠BOC，
∴∠BOQ=∠BOC=30°或∠BOQ=180°+30°=210°，
∴10t=30+90或10t=90+210，
解得t=12或30．
故答案为：12或30．
5如图，D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=95°，求∠BED的大小．
【答案】（1）证明　∵D是等边△ABC 内一点，线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴AD=AE，∠ADE=60°，AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=60°-∠BAD=∠CAD，
∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，AC=AB，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
（2）解　∵D是等边△ABC 内一点，线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∵△AEB≌△ADC（SAS），∠ADC=95°，
∴∠AEB=∠ADC=95°．
∴∠BED=∠AEB-∠AED=35°．
4旋转的性质—与线段长度或图形面积
1如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为（　　）
A.2 B. C.2 D.
【答案】A
【解析】由旋转得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，
∵∠BAC=90°，点B1是边BC的中点，
∴AB1=BB1=BC，
∴AB1=BB1=AB，
∴△ABB1是等边三角形，
∴∠BAB1=60°，
∴∠BAB1=∠CAC1=60°，
∴△CAC1是等边三角形，
∴CC1=AC，
在Rt△ABC中，AB=2，由勾股定理得，
AC=2，
∴CC1=AC=2.
2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，当A1，B1，A三点共线时，AA1的值为（　　）
A.12 B.8 C.6 D.8+4
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=8，
∴∠BAC=30°，则BC=AB=4，
∵将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，
∴∠A1B1C=∠ABC=60°，B1C=BC=4，CA=CA1，A1B1=AB，∠A1=∠CAB=30°，
∵CA=CA1，
∴∠CA1B1=∠CAA1=30°，
∵A1，B1，A三点共线，
∴∠ACB1=∠A1B1C-∠A1AC=60°-30°=30°，
∴B1A=BC=4，
∴AA1=AB1+A1B1=4+8=12.
3如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点），若点B'恰好落在△ABC边上，则点A到直线A′C的距离是 ．
【答案】9或6
【解析】①当点B'恰好落在AB边时，过点A作AD⊥A′C于点D，如图，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12，
∴AC==6，
由旋转的性质可得，B′C=BC，∠B=∠A′B′C=60°，∠A′CB′=∠ACB=90°，
∴△CB′B为等边三角形，
∴∠ACB′=∠ACB-∠BCB′=30°，
∴∠ACD=∠A′CB′-∠ACB′=60°，
∴∠DAC=30°，
∴CD=AC=3，
∴AD==9；
②当点B'恰好落在AC边时，如图，
由旋转的性质可得，∠A′CB′=∠ACB=90°，
∴A′，C，B三点共线，AC⊥A′B，
由（1）知，AC=6．
综上，点A到直线A′C的距离是9或6．
4如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=，求BD的长．
【答案】解　∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB=AD=，∠BAD=∠CAE=90°，
∴BD==．
5如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，且AC在直线L上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，…，按此规律继续旋转，得到点P2024为止，求AP2024等于多少.
【答案】解　∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①时，AP1=5，
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②时，AP2=5+4=9，
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③时，AP3=5+4+3=12，
……，
以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12，
∵2 024÷3=674…2，
∴AP2 024=674×12+5+4=8 097.
5中心对称性质
1如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC=2，BO＝，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（　　）
A.4 B.4 C. D.2
【答案】D
【解析】∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，
∴AO=CO=1，BO⊥AC，
∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，
∴CQ=CO=1，∠Q=∠BOC=90°，PQ=BO=，
∴AQ=AO+CO+CQ=3，
∴AP===2．
故选：D．
2如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（　　）
A.点G B.点H C.点I D.点J
【答案】C
【解析】∵△ABC与△DEF关于某点成中心对称，
∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心．
故选：C．
3如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（　　）
A.点P B.点Q C.点M D.点N
【答案】C
【解析】如图，连接BE，CF，发现其交于点M，
根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．
故选C．
4如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=4，OD=3，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】12
【解析】如图，∵直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=4，OD=3，
∴AB=3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=3×4=12．
故答案为：12．
5如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
【答案】解　（1）图中△ADC和△EDB成中心对称.
（2）∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
∴△ABE的面积为8．
6已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明　∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AC=CD；
（2）解　∠F=∠MCD．
理由：由（1）可得△ABM≌△ACM，△ABE≌△DCE，∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β，
∠MCD=∠CDE-∠CMA=α-β，
∴∠F=∠MCD．
6中心对称图形
1围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4 000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B.C.D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
2云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列云纹图案中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
3下列4种图案中，是中心对称图形的有 个．
【答案】2
【解析】第1个和第3个图形，是中心对称图形，符合题意；
第2个和第4个图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：2．
4如图，两个全等的“心”形有一个公共点O，且点C，O，E在同一条直线上，下列说法中：
①这两个“心”形关于点O成中心对称；
②点C，E是以点O为对称中心的一对对称点；
③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；
④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形．
正确的有 ．（只填你认为正确的说法的序号）
【答案】①②③④
5在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．有些汉字或字母是轴对称图形，请你举例说明某些汉字或字母既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【答案】解　H，O，X，田，口，中，既是轴对称图形，又是中心对称图形（答案不唯一）．
7关于原点对称的点的坐标
1在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点的对称点P'的坐标是（　　）
A.（-2，-3） B.（-3，-2） C.（-2，3） D.（-3，2）
【答案】C
2若点A（0，2）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）
A.（2，0） B.（-2，0） C.（0，2） D.（0，-2）
【答案】D
【解析】∵两点关于原点对称，
∴横坐标为0，纵坐标为-2，
∴点（0，2）关于原点的对称点的坐标为（0，-2）．
故选：D．
3已知点P（x,-2）与点Q（4，y）关于原点对称，则x+y的值是（　　）
A.2 B.-2 C.-4 D.4
【答案】B
【解析】∵点P（x,-2）与点Q（4，y）关于原点对称，
∴x=-4，y=2，
∴x+y=-4+2=-2．
故选：B．
4若点A（m,1）与B（-3，n+1）关于原点中心对称，则（m+n）2023的值为 ．
【答案】1
【解析】∵点A（m,1）与B（-3，n+1）关于原点中心对称，
∴m=3，n+1=-1，
∴m=3，n=-2，
∴（m+n）2023=（3-2）2023=1．
故答案为：1．
5在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是 ；关于y轴的对称点是 ；关于原点的对称点是 ．
【答案】（2，-3） （-2，3） （-2，-3）．
6如图．
（1）在直角坐标系中，分别描出点A，B，C关于原点O的对称点A1，B1，C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并分别依次连接点A，B，C和点A1，B1，C1．
（2）描述△ABC和△A1B1C1各对应顶点坐标之间的关系;
（3）△A1B1C1是由△ABC经怎样的变化得到的？
【答案】解　（1）如图所示：
点A1，B1，C1的坐标分别为（-2，-5），（-4，-2），（-1，-1）.
（2）△ABC和△A1B1C1各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
（3）△A1B1C1是由△ABC绕着原点O旋转180°得到的．
7如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，-2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
【答案】解　（1）A1（-2，2），A2（-2，-2），如图.
（2）设P点坐标为（t,0），
OA==2，
当OP=OA时，P点坐标为（-2，0）或（2，0）；
当AP=AO时，P点坐标为（4，0）；
当PO=PA时，P点坐标为（2，0）.
综上所述，P点坐标为（-2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．

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