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北师大版（2024）八年级下册 5.1 分式及其基本性质 分层练习
分式的概念
1下列各式，，， ，，＝中，分式的个数为（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
2如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3请你写出一个含有字母x，y的分式： ．
4已知a＞2，代数式：A=2a2-8，B=3a2+6a，C=a3-4a2+4a.
（1）因式分解A，B，C；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，能写出几个分式，请你写出来.
分式有意义的条件
1下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A. B. C. D.
2使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A.x≠1 B.x≠-1 C.x＜1 D.x＞1
3如果分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1
4x的值为 时，分式无意义．
5求下列分式有意义的x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）．
分式值为0的条件
1若=0，则x的值等于（　　）
A.3或﹣2 B.﹣3 C.2 D.无法确定
2若分式的值为0，则x的值为（　　）
A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.2或﹣1
3如果分式的值为零，那么x等于（　　）
A.1 B.﹣1 C.0 D.±1
4当x=　 　时，分式的值为0．
5当x=　 　时，分式的值为零．
6已知y＝，x取哪些值时，y的值是零？分式无意义？y的值是正数？
7已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
已知某些字母的值求分式的值
1当x=2时，分式的值为（　　）
A.8 B.4 C.3 D.2
2题目当x=6，y=﹣2时，式子的值为（　　）
A.2 B. C.1 D.
3当a=2016时，分式的值是 ．
4已知x=2，y=1，求的值．
5已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）．
（1）探究a，b的值；
（2）求分式的值．
整体代入法求分式的值
1已知a2﹣3a+1=0，则分式的值是（　　）
A.3 B. C.7 D.
2如果x2﹣4xy+4y2=0，那么的值等于（　　）
A.﹣ B.﹣ C. D.
3已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于________．
4已知，则的值为　 　．
5已知=，求的值．
由分式值正负确定字母的取值范围
1若分式的值为正，则x的取值范围为(　　)
A.x≥－ B.x≤－ C.x>－且x≠0 D.x＜－
2若分式的值为正数，则a的取值范围是(　　)
A.a>3 B.a≠2 C.a<2 D.a>3或a<2
3已知的值为负数，则a　 ．
4已知分式，x取哪些值时分式：
（1）值是正数；
（2）值是零；
（3）无意义；
（4）有意义．
5若x为整数，且的值也为整数，求所有符合条件的x的值之和．
分式的应用
1有一项工程，甲单独做需要m天完成，乙单独做需要n天完成，那么甲乙两人合作需要（　　）天完成．
A. B. C. D.m+n
2已知甲、乙两地相距500米，小李、小刘两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别为x米/秒、y米/秒，小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，行驶时间为（　　）
A.秒 B.秒 C.秒 D.秒
3一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完了下集，这部小说一共100万字，这位作家平均每天的写作量（万字）为（　　）
A.- B.+ C. D.
4李师傅a小时加工了40个零件，每小时加工 个．
52001-2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是S1，S2，S3，2003年与2002年相比，2002年和2003年的增长率是多少？森林面积增长率提高了多少？（用式子表示）
用分式基本性质将分式变形
1下列各式从左到右的变形正确的是(　　)
A.= B. C. D.
2若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A. B. C. D.
3已知等式和，那么（　　）中应填入 .
4若，则括号内填 .
把分子与分母的系数变为整数
1下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
2下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A.=x+y B. C. D.
3不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数化为整数：=　 ．
4（1）将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是　　 　　　；
（2）将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是　　　　　.
5不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
①；②
把分子与分母的最高次项系数变为正数
1下列各式变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
2下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
3与分式相等的是（　　）
A. B. C. D.
4下列分式的变形中：①＝(c≠0)；②＝－1；③＝；④＝，错误的是________．(填序号)
5不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．
（1）；（2）；（3）；（4）－.
公因式为单项式的约分
1化简的结果是（　　）
A. B. C. D.4y
2化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
3约分：= ．
4约分：= .
公因式为多项式的约分
1下列各式中，不能约分的分式是（　　）
A. B. C. D.
2下列各式约分正确的是（　　）
A. B. C. D.
3分式可化简为　 　．
4计算的结果是　 　．
最简分式
1若分式是最简分式，则△表示的是（　　）
A.2x+2y B.(x-y)2 C.x2+2xy+y2 D.x2+y2
2下列分式中，是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
3化简：＝________.
4改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是 .
5分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值．
北师大版（2024）八年级下册 5.1 分式及其基本性质 分层练习（参考答案）
1分式的概念
1下列各式，，， ，，＝中，分式的个数为（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【解析】， ，是分式，共3个．
故选：C．
2如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】甲卡片中，是分式；乙卡片中，中，π是一个数，故不是分式；丙卡片中，是分式；丁卡片中，，分母不含字母，不是分式．
综上，是分式的有甲、丙，共2个.
故选：B．
3请你写出一个含有字母x，y的分式： ．
【答案】（答案不唯一）
4已知a＞2，代数式：A=2a2-8，B=3a2+6a，C=a3-4a2+4a.
（1）因式分解A，B，C；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，能写出几个分式，请你写出来.
【答案】解：（1）A=2(a2-4)=2(a+2)(a-2)；B=3a(a+2)；C=a(a2-4a+4)=a(a-2)2.
（2）根据分式的定义，能写出6个分式，分别是：
，，，，，.
2分式有意义的条件
1下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A，B选项中，当时，分母为0；
C选项中，当时，分母为0；
而D选项中的分母＞0，也即不管x取什么值，其分母都一定大于0，所以D项中的式子一定是分式．
故选：D.
2使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A.x≠1 B.x≠-1 C.x＜1 D.x＞1
【答案】A
【解析】∵分式有意义，∴x-1≠0，解得x≠1．
故选：A．
3如果分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1
【答案】B
【解析】∵分式有意义，∴x-1≠0，解得：x≠1．
故选：B．
4x的值为 时，分式无意义．
【答案】-1
【解析】由分式无意义，得x+1=0，解得x=-1．
5求下列分式有意义的x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】解：（1）当分母x-1≠0，即x≠1时，分式有意义.
（2）当分母|x|-4≠0，即x≠±4时，分式有意义.
（3）当分母(x-1)(x+5)≠0，即x≠1或x≠-5时，分式有意义．
3分式值为0的条件
1若=0，则x的值等于（　　）
A.3或﹣2 B.﹣3 C.2 D.无法确定
【答案】B
【解析】由题意得解得x=﹣3.
故选：B．
2若分式的值为0，则x的值为（　　）
A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.2或﹣1
【答案】B
【解析】根据题意得解得x=﹣2．
故选：B．
3如果分式的值为零，那么x等于（　　）
A.1 B.﹣1 C.0 D.±1
【答案】B
【解析】∵分式的值为零，∴解得x=﹣1．
故选：B．
4当x=　 　时，分式的值为0．
【答案】
【解析】∵分式的值为0，∴解得x=.
5当x=　 　时，分式的值为零．
【答案】3
【解析】依题意得解得x=3．
6已知y＝，x取哪些值时，y的值是零？分式无意义？y的值是正数？
【答案】解：由题意得当x＝0时，y的值是零；
当3－5x＝0，即x＝时，分式无意义；
当>0，即x＜且x≠0时，y的值是正数．
7已知分式，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
【答案】解：（1）由题意得m2﹣3m+2≠0，解得m≠1且m≠2.
（2）由题意得解得m=3，
则当m=3时，此分式的值为零．
4已知某些字母的值求分式的值
1当x=2时，分式的值为（　　）
A.8 B.4 C.3 D.2
【答案】D
2题目当x=6，y=﹣2时，式子的值为（　　）
A.2 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】∵x=6，y=﹣2，∴===．
故选：D．
3当a=2016时，分式的值是 ．
【答案】2018
【解析】原式==a+2，把a=2016代入得原式=2016+2=2018．
4已知x=2，y=1，求的值．
【答案】解：因为x=2，y=1，所以原式===．
5已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）．
（1）探究a，b的值；
（2）求分式的值．
【答案】解：（1）∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）．
∴a=10，b=102-1=99．
（2）原式==，将a=10，b=99代入得原式=20.8．
5整体代入法求分式的值
1已知a2﹣3a+1=0，则分式的值是（　　）
A.3 B. C.7 D.
【答案】D
【解析】∵a2﹣3a+1=0，∴a2+1=3a，∴（a2+1）2=9a2，∴a4+1=（a2+1）2﹣2a2=7a2，∴原式==．
故选：D．
2如果x2﹣4xy+4y2=0，那么的值等于（　　）
A.﹣ B.﹣ C. D.
【答案】C
【解析】∵x2﹣4xy+4y2=0，∴（x﹣2y）2=0，则x=2y，故原式===．
故选：C．
3已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于________．
【答案】4
【解析】由y＝得xy＋y＝x，即x－y＝xy，所以＝＝＝4.
4已知，则的值为　 　．
【答案】5
【解析】∵，即，∴2b=3a，∴b=1.5a，∴==5．
5已知=，求的值．
【答案】解：∵=，
∴=9，
x﹣+1=9，
x﹣=8，
∴==(x+2+1=82+3=67，
∴=．
6由分式值正负确定字母的取值范围
1若分式的值为正，则x的取值范围为(　　)
A.x≥－ B.x≤－ C.x>－且x≠0 D.x＜－
【答案】C
2若分式的值为正数，则a的取值范围是(　　)
A.a>3 B.a≠2 C.a<2 D.a>3或a<2
【答案】D
【解析】由题意得或解得a>3或a<2.
故选：D.
3已知的值为负数，则a　 ．
【答案】a＞
【解析】由题意得当1﹣3a＜0时，分式的值是负数，解得a＞．
4已知分式，x取哪些值时分式：
（1）值是正数；
（2）值是零；
（3）无意义；
（4）有意义．
【答案】解：（1）∵分式的值是正数，∴或解得＜x＜1，
∴当＜x＜1时，分式值是正数.
（2）∵分式值是零，∴x﹣1=0且2﹣3x≠0，解得x=1，
∴当x=1时，分式值为0．
（3）∵分式无意义，∴2﹣3x=0，解得x=，
∴当x=时，分式无意义．
（4）∵分式有意义，∴2﹣3x≠0，解得x≠，
∴当x≠时，分式有意义．
5若x为整数，且的值也为整数，求所有符合条件的x的值之和．
【答案】解：＝＝.
∵x为整数，为整数，∴x－2＝±1，x－2＝±2，x－2＝±4，
∴x的值为－2，0，1，3，4，6.
若原分式有意义，则x2－4≠0，∴x≠2且x≠－2.
∴x的值为0，1，3，4，6.
故所有符合条件的x的值之和为0+1+3+4+6=14.
7分式的应用
1有一项工程，甲单独做需要m天完成，乙单独做需要n天完成，那么甲乙两人合作需要（　　）天完成．
A. B. C. D.m+n
【答案】A
【解析】由题意可知，两人合作需要1÷(+)＝（天）完成.
故选：A．
2已知甲、乙两地相距500米，小李、小刘两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别为x米/秒、y米/秒，小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，行驶时间为（　　）
A.秒 B.秒 C.秒 D.秒
【答案】C
【解析】依题意得小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，两人所行驶的路程之和为（500+m）米，
又∵两人的速度之和为（x+y）米/秒，∴行驶的时间为秒．
故选：C．
3一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完了下集，这部小说一共100万字，这位作家平均每天的写作量（万字）为（　　）
A.- B.+ C. D.
【答案】C
【解析】这位作家平均每天的写作量（万字）为.
故选：C．
4李师傅a小时加工了40个零件，每小时加工 个．
【答案】
52001-2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是S1，S2，S3，2003年与2002年相比，2002年和2003年的增长率是多少？森林面积增长率提高了多少？（用式子表示）
【答案】解：2002年的增长率是，
2003年的增长率是，
则森林面积增长率提高-.
8用分式基本性质将分式变形
1下列各式从左到右的变形正确的是(　　)
A.= B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A，分子、分母同加m，不符合分式的基本性质；
选项B，分子、分母都乘以c，但当c=0时，不成立；
选项C，分子、分母都除以m，且隐含m≠0，符合分式的基本性质；
选项D，分子乘以a，分母乘以b，分式的值改变.
故选：C.
2若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍，
A选项，==；
B选项，≠；
C选项，；
D选项，.
故选：A．
3已知等式和，那么（　　）中应填入 .
【答案】3a2-3ab，m+n
【解析】由于分母a+b需乘以a-b才能得到a2-b2，依据分式的基本性质，分子3a也需乘以a-b，分式的值才不变．
而3a(a-b)=3a2-3ab，故第一个（　　）中应填入3a2-3ab；
由于分母2m2n2需除以mn才能得到2mn，依据分式的基本性质，分子m2n+mn2也需除以mn，分式的值才不变．
而(m2n+mn2)÷mn=m+n，故第二个（　　）中应填入m+n．
4若，则括号内填 .
【答案】2a+2b
【解析】根据分式的基本性质，分子、分母都乘(a+b)，则括号内填2a+2b．
9把分子与分母的系数变为整数
1下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.将分式分子分母同乘10，应该每一项都乘10，故错误；
B.分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故正确；
C.将分式分子分母同除10，应该每一项都除以10，故错误；
D.分子分母除以不同的数，分式的值发生变化，故D错误.
故选：B．
2下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A.=x+y B. C. D.
【答案】D
【解析】A.分子与分母除的数不是同一个数，故错误；
B.分子分母的一部分乘以10，故错误；
C.-=≠，故C错误；
D.分子分母都乘2，故D正确.
故选：D．
3不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数化为整数：=　 ．
【答案】
【解析】分子分母都乘以10，分式的值不变，得.
4（1）将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是　　 　　　；
（2）将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是　　　　　.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式==；
（2）原式==.
5不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
①；②
【答案】解：①分式的分子与分母同时乘6得：原式=.
②分式的分子与分母同时乘10得：原式=．
10把分子与分母的最高次项系数变为正数
1下列各式变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.原式=，故错误；
B.原式=，故错误；
C原式=，故错误；
D.，故正确．
故选：D.
2下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A错误，应为；
B错误，应为；
C错误，应为；
D正确，分子分母都乘15，分式的值不变，故D符合题意.
故选：D．
3与分式相等的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变，因而在分式的分子、分母上同时乘以﹣1分式的值不变，原分式分子分母都乘以﹣1，可得﹣．
故选：C．
4下列分式的变形中：①＝(c≠0)；②＝－1；③＝；④＝，错误的是________．(填序号)
【答案】③④
【解析】③原式＝，故③错误；
④原式＝，故④错误．
5不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．
（1）；（2）；（3）；（4）－.
【答案】解：（1）＝－.
（2）＝－.
（3）＝.
（4）－＝－.
11公因式为单项式的约分
1化简的结果是（　　）
A. B. C. D.4y
【答案】C
【解析】原式==．
故选：C．
2化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式==．
故选：B．
3约分：= ．
【答案】﹣
【解析】＝﹣.
4约分：= .
【答案】-
12公因式为多项式的约分
1下列各式中，不能约分的分式是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A. =，故本选项错误；
B. ，不能约分，故本选项正确；
C. =﹣，故本选项错误；
D. ==，故本选项错误.
故选：B．
2下列各式约分正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.原式=，故本选项错误；
B.分子、分母没有公因式，不能约分，故本选项错误；
C.原式=，故本选项正确；
D.原式=，分子、分母没有公因式，不能约分，故本选项错误.
故选：C．
3分式可化简为　 　．
【答案】
4计算的结果是　 　．
【答案】1﹣2a
【解析】原式==1﹣2a．
13最简分式
1若分式是最简分式，则△表示的是（　　）
A.2x+2y B.(x-y)2 C.x2+2xy+y2 D.x2+y2
【答案】D
【解析】因为x2-y2=(x+y)(x-y)，且分式是最简分式，所以△中肯定不含有(x+y)或(x-y)．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
2下列分式中，是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.=，错误； B.=，错误； C.=，错误； D.是最简分式，正确． 故选：D．
3化简：＝________.
【答案】x
【解析】原式＝＝x.
4改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是 .
【答案】
【解析】分子、分母都乘以100，得原式==．
5分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值．
【答案】解：分式不是最简分式． 原式==， 当x=2时，原式==．

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