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2026年初中学业水平5月模拟考试
数学试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的
1.在-9, 0, 3, 6这四个数中,最大的数是( )
A.6 B.3 C.0 D.-9
2.据安徽省政府新闻办公室 2026年 1月 23日公布的数据，2025年安徽省地区生产总值 52989亿元，其中 52989亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.由6个棱长都为1cm的小正方体组成的几何体如图所示，其左视图的面积为( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列方程中，有两个相等的实数根的是( )
A. B. C. D.
6.如图,在矩形ABCD中, AB=3, AD=4, E是AD边上的动点,若CE⊥BD,则AE的长是( )
A. B.2 C. D.
7.已知函数的图象经过点M(1，2)，且在第一象限内y随x的增大而增大.下列函数符合要求的是( )
A. y= kx+3 B. y= kx-1 C. D.
8.如图所示,在边长为4的等边△ABC中, P是△ABC内任意一点,若满足PD⊥BC, PE⊥AC,PF⊥AB，则下列为定值的是( )
A. PD+PE+PF B.∠BPC的大小 C. PA+PB+PC D.四边形 BDPF的面积
9.已知二次函数 的图象经过A(-1, 0)和B(2, n), 0A.010.如图,在正方形形ABCD中, AB=3,点E为边 BC上的动点. F在边AB上, BF=1,将线段EF绕点F逆时针旋转 90°得到线段 FP，连接PC，PD，PE，则下列结论错误的是( )
A. DE+EF的最小值是5 B.
C. D.四边形 DEFP 面积的最大值为
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
12.如图, AB是⊙O的弦, PB与⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P=3∠A, OA=2,则 的弧长为 .
13.一对夫妇生一个孩子，生男孩和生女孩的机会相等.如果有一对夫妇有 3个孩子，则既有男孩，也有女孩的概率为 .
14.考拉兹猜想(又叫3n+1猜想)，是指对于每个正整数，如果是奇数，则对它乘以 3再加1；如果是偶数，则对它除以 2.如此循环，最终得到1为止.例如对于正整数3，第①次变换得到10，第②次变换得到5，第③次变换得到16，第④次变换得到8，第⑤次变换得到4，第⑥次变换得到2，第⑦次变换得到1，结束.
(1)对正整数7进行四次变换，得到的数为 ；
(2)若对正整数n进行⑦次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.先化简，再求值： 其中
16.如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).已知点A和B的坐标分别为(0, 1)和(-3, 0).
(1)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A B C ，使得 请在所给的网格图中画出△A B C ；
(2) △A B C 的面积为 .
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.物理上有个著名的托里拆利实验，它测出了一个标准大气压等于 76cm水银柱.取一根长度为1米，一端封闭的玻璃管，用水银灌满后倒立插入盛有水银的容器中.如图下端有 4cm淹没在水银槽中，水银柱在液面以上可达 76cm高度.实验过程中，水银柱上表面到槽内液面的竖直高度始终保持76cm.玻璃管可绕其下端在竖直平面内缓慢倾斜，设玻璃管与竖直方向的夹角为(
参考数据: sin27°≈0.45, cos27°≈0.89, tan27°≈0.51, sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37°≈0.75.(精确到0.1m).
(1)当玻璃管竖直放置(θ=0°)时，管内真空部分的长度为 厘米；
( 2)当玻璃管倾斜至与竖直方向夹角 θ=27°时，求管内真空部分的长度(即管内水银上表面中心到管顶的距离)；
( 3)当玻璃管倾斜至某一角度 θ 时，水银恰好充满整个玻璃管(即管内全部为水银，顶部无真空)，求此时 θ 的大小(精确到 1°)
18.2025年“春节”是春节申遗成功后的第一个春节.某校为了增强学生对春节传统民俗文化的兴趣，对全校同学进行了一次春节传统民俗文化知识问卷调查，问卷满分为 5分.学校随机抽取了部分同学的问卷，将所得的分数(单位：分)进行分类，统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题.
(1)a= ，并补全条形统计图；
(2)请求出抽取的这部分同学的问卷成绩的中位数和平均数；
(3)若该校共有学生1200人，请估计问卷成绩优秀(大于或等于4分)的学生人数.
五、(本大题共2小题，每小题 10分，满分 20分)
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b(a≠ 0)与反比例函数 的图象交于A(x , y ) 、B(x , y )两点
( 1)探究: 因为(x , y )、B(x , y ) 是一次函数y= ax+b(a≠ 0)与反比例函数. 的交点，将两个式子联立求解，化成一元二次方程，得：
根据韦达定理，得： 又因为 化简后得到
(2) 若. 时，则一次函数y= ，反比例函数y= ;
(3)在(2)的条件下,求出△OAB的面积.
20.如图,AB、CD 是⊙O的两条弦,AB和CD相交于点 P.
(1)求证: PA·PB=PC·PD;
(2)若AB是⊙O的直径且AB ⊥ CD,AP=1, ssinD= 求 sin∠COA.
六、(本题满分12分)
21.【项目主题】
某校数学社团开展“探索幻方”实践活动，旨在探究幻方的数式规律，并尝试将幻方制作应用于社团活动中
【项目准备】
( 1)幻方：是一种将连续自然数(或特定规则的数)填入正方形方格中的数学结构，满足以下数学条件：每行数的和、每列数的和两条对角线上的数的和都相等.这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和.
(2)如图1是由1~9这9个数构造的一个三阶幻方 (3×3方格).
【规律探究】
(1)观察图1，中心数是5.该三阶幻方的幻和S=15(即幻和等于中心数的3倍).
若将图1中每个数修改为1，1+n，1+2n，…，1+8n得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和S= ① (用含n的代数式表示).
(2 )若用m, m+1, m+2,…, m+8这 9个连续正整数构造一个三阶幻方,则幻和S= ② (用含m的代数式表示).
(3)如图2是由1~25这25个自然数构造的五阶幻方(5×5方格)，幻和S=65.
若将每个数修改为1，1+n，1+2n，…，1+24n，得到一个新的五阶幻方，则新幻方的幻和S= ③ (用含n的代数式表示).
【项目分析】
为了更好地开展活动，吸引更多同学参加，数学社团需要制作一些幻方展板，具体要求如下：
①展板为 3× 3或 5× 5的方形塑料板各 10个，②每个展板上贴一些写有数字的塑料片，要求整个展板构成一个三阶或五阶幻方，③展板上的数必须是从某一起始数开始的满足特定条件的自然数.
(4)现有两种备选方案：
方案一：用1，3，5，…，17这9个连续奇数构造三阶幻方共制作10套.
方案二:用m, m+n, m+2n, m+3n, …, m+24n这25个自然数构造五阶幻方共制作10套.当m=3, n=4时,方案二的幻和: S= ④ .
每个展板的制作成本为20元.数贴纸费用为每个数字1元(即按数字的位数收费，如贴纸数字8是一位数收费1元，贴纸数字37是二位数收费2元，贴纸数字123是3位数收费3元)，计算方案一总成本为 ⑤ 元.
【项目实施】
根据以上分析，若社团要求方案二的幻和为 400， 且最大数为 152， 则方案一和方案二的展板各 10块的总成本为 ⑥ 元.
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
① , ② , ③ , ④ , ⑤ , ⑥ .
七、(本题满分12分)
22.在矩形ABCD内, AB=a, AD=b.点 P是BC的中点,连接AP,点B关于AP的对称点是E,连接BE、CE.
(1)如图1,若a=b,
①求证: AP∥CE;
②求 的值；
(2)如图2，连接DE，当a≠b时，且D、E、P三点在同一条直线上时，求a/b.
八、(本题满分14分)
23.已知抛物线 的图象经过点A(-1, m) , B(3, m).
(1)求b/a的值;
(2)已知 的最大值为
①求该二次函数的表达式；
②若M(x ,n), N(x ,n)为该二次函数图象上的不同两点,且n≠0,求证:
数学参考答案
一、选择题 (共10小题)
题号 1 2 3 4 5
答案 A B C D D
题号 6 7 8 9 10
答案 C B A C D
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分 20 分)
题号 11 12 13 14 15
答案 2 1.6π 17 172
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.解: 原式 5分当 时，原式 8分
16.(1) 如图; 4分
(2) △A B C 的面积为 20 8分
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.(1)竖直放置时真空部分的长度为 20 厘米； 2分
(2)倾斜27°时，求真空部分的长度(液面的中心到管顶的距离)；
5分
(3)倾斜多少度时，水银可装满整个玻璃管。
∴α=37° 8分
18.(1)a= 8 , 1分如图。 3分
(2) 中位数3, 5分
6分
8分
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
2分
(2)一次函数 6分
(3)求出△OAB的面积。
10分
20. (1)证明:
连接AC, BD, ∠C= ∠B, ∠A= ∠D,
∴△PAC∽△PDB
4分
可得AD= , PD=PC=2,
根据PA PB=PC PD,求得BP=4, 6分
AB=1+4=5,半径为2.5。 8分
10分
六、(本题满分12分)
21.①12n+3, ②3m+12, ③60n+5, ④255, ⑤330,⑥1110。(每空2分,共12分)
④当m=3, n=4时,数列3, 7, 11, …, 99,
⑤数列 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17。(20+5+4×2)×10=330元
数列: 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 68,74, 80, 86, 92, 98, 104, 116, 122, 128, 134,140, 146, 152。(20+1+2×15+3×9)×10+330=1110元.
七、(本题满分12分)
22.解: (1) (i)当a=b时,
B、E关于AP对称 AP⊥BE且BP=EP,
又∵P是BC的中点 BP=CP
·BP=CP=EP BE⊥CE
∵AP∥CE. 4分
∠ABC=∠BEC=90°,
∠BAP=90°-∠ABE=∠CBE, △ABP∽△BEC
即
8分
(2)当a≠b时,设∠BAP=∠EAP=∠CBE=α,∠BPA=∠EPA=∠DAP=90°-α.
在Rt△DCP中,
12分
八、 (本题满分14分)
23.解: (1)根据A(-1, m) , B(3, m)得:
对称轴： 分
的最大值是 a<0且 或2(>0舍去)
9分
(3) ∵M(x , n), N(x , n)为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，
∵x , x 关于对称轴 对称，
14分

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