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福州外国语学校2025-2026学年第二学期九年级期中考数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 桦卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．如图是其中一种卯，其左视图是（　　）
A. B. C. D.
3. 根据福州市文旅局的数据统计，2025年“五一”假日期间，全市累计接待游客214.63万人次，数据2146300用科学记数法可表示为（　　）
A. B. C. D.
4. 如图，中国古代钱币“天显通宝”，下列关于该钱币轮廓的对称性描述正确的是（ ）
A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 既是轴对称图形，也是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，的直径垂直于弦，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在等边中，点，分别是上的点，，，则的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
10. 某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟.初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示.为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计.若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ）
A. 2.8分钟，3.7分钟 B. 2.0分钟，3.0分钟
C. 3.6分钟，4.2分钟 D. 4.3分钟，4.5分钟
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11. 因式分解：=_______．
12. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为__________．
13. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为________．
14. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为_____．
15. 在平面直角坐标系中，点A是反比例函数（）图象上的一点，如图，将线段向左平移，平移后的对应线段为，点落在反比例函数的图象上，已知线段扫过的面积为8，则________．
16. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点.若对于，，都有，则的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：
18. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC=∠DCB．
19. 先化简， 再求值：，其中．
20. 清溪中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤．
【实验操作】
第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到底部处，入射光线与水槽边的夹角为．
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）
【测量数据】
如图，所有点都在同一平面内，测得．
【数据应用】
（1）求折射角的度数；
（2）求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
21. 有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．
（1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表：
实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000
白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000
落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33
请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________．
（2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为，黑色扇形的圆心角为，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
22. 如图，内接于，点为直径的延长线上一点．
（1）在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径．
23. 在平面直角坐标系中，抛物线.
（1）当时，求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）抛物线与x轴有两个交点，，其中a，b均为正整数，且.求证：．
24. 课本呈现：
直觉的误差 有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，，， ∵，∴． ∵，∴，∴． 因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
问题探究：
（1）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；
（2）如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．
25. 如图，在矩形中，是上的一动点，将沿折叠，使点落在点的位置．
（1）如图1，若点在边上，且，，求的长．
（2）如图2，若，连接，交于点，延长，交于点，连接，交于点，是的中点，连接．
①求证：．
②若，求的值．
福州外国语学校2025-2026学年第二学期九年级期中考数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】A
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】##72度
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】#55度
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】或
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
【17题答案】
【答案】
【18题答案】
【答案】证明见解析．
【19题答案】
【答案】，
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
【22题答案】
【答案】（1）见解析 （2）的半径为
【23题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【24题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【25题答案】
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
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