资源简介

广东广州市铁一中学等校2025-2026学年高一下学期5月学情检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
2.平行四边形中，( )
A. B. C. D.
3.已知某圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知为实数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.平面内，一质点在力，，作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，设，且满足，则角的大小为( )
A. B. C. D.
8.已知个半径为的小球两两相切，且这个球都与球相切，若所有棱长都为的四面体的顶点都在球的表面上，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 正棱柱是平行六面体
B. 用斜二测画法画的水平放置的边长为的正三角形的直观图面积是
C. 当为复数时，
D. 在中，若，则
10.已知函数的图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 当时，的最小值为
D. 当在区间上有最大值且没有最小值时，的取值范围是
11.已知，，，，则( )
A. 不存在，，，使得
B. 当时，面积的最小值为
C. 存在，，使得当最小时与重合
D. 当且时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则 ．
13.已知圆台的上、下底面的半径分别为，，高为，则该圆台的表面积为 ．
14.设中，，，且点为的费马点即满足最小的点，当的内角均小于时，费马点满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若，求；
若，且，求．
16.本小题分
已知向量，．
若与共线，求实数的值；
若，求的最小值．
17.本小题分
已知中内角，，所对的边分别为，，，点为的中点，，．
若，求；
若，求．
18.本小题分
如图，在中，点，分别在边，上，点为的中点且，交于点．
若，证明：；
若，，求的值；
若是边长为的正三角形，点是与，不重合的动点，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，，点，分别为棱，的中点．
记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求
若，且三棱柱是直棱柱．
(ⅰ)求点到平面的距离
(ⅱ)求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点爬行到点的最短路程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
，
或
所以，所以．
，
所以，因为，所以，
，
所以．

16.解：因为，，所以，．
因为与共线，所以，
所以．
因为，，所以，，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．

17.解：在中，，，
由同角三角函数的基本关系得，
由正弦定理得，即，所以．
在中由余弦定理得，
因为，所以，解得，
在中，由余弦定理得，所以．

18.解：证明：因为点为的中点，所以，
因为，所以，
所以．
设，
由，
得，
即，
即，
因为，不共线，所以，解得．
因为是边长为的正三角形，点为的中点，
所以，，，
设，
则，
因为，所以，
所以的取值范围是．

19.解：因为，点，分别为棱，中点，
所以，
所以
，
所以．
如图，因为三棱柱是直棱柱，所以，
因为，所以三棱柱的体积，
由知三棱锥的体积为，
在中，，
，
满足，所以，
的面积，
设点到平面的距离为，则，
即，所以．
沿三棱柱表面从点到点有三种路径：
经过平面与平面，如图沿棱翻转平面，
使得平面与平面在同一平面内，
此时最短路程为．
经过平面与平面，如图沿棱翻转平面，
使得平面与平面在同一平面内，
此时最短路程为．
经过平面与平面，如图沿棱翻转平面，
使得平面与平面在同一平面内，
此时最短路程为．
因为，
所以蚂蚁沿三棱柱表面从点爬行到点的最短路程为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑