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河南省开封市五校联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
5.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则( )
A. B. C. D.
6.若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.任何一个复数其中，，为虚数单位都可以表示成其中，的形式，通常称之为复数的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理若复数为纯虚数，则正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，是三个不同的点，，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则与为异面直线
D. 若，，是平面内不共线的三点，，，则
10.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是( )
A. 为实数 B.
C. 若，则 D.
11.数学家欧拉曾提出欧拉线定理：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上重心在外心与垂心之间，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被称为三角形的欧拉线已知的外心为，重心为，垂心为，若，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ．
13.如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为 ．
14.如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，
若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围
当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若，的面积为，求边上的高．
17.本小题分
如图是打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体．
当时，求该艺术品的体积；
当为何值时，该艺术品的表面积最大？
18.本小题分
如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，．
若，．
求的值；
求的值；
若存在实数，使得，求的取值范围．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且．
求角的大小
若，点是的中点，且，求的值
已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值．
参考答案
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15.解：因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
则
解得，
即的取值范围是
当时，，
因为是关于的方程的一个根，
所以，即，
整理得，
所以，解得．
16.解：由和余弦定理，
可得：，
化简得，则得，
故；
由可得，
由已得，解得，
由余弦定理，
，解得，
设边上的高边上的高为，
则由，解得，
故边上的高为．

17.解：当时，设圆柱的半径为，则，解得．
此时该艺术品的体积为；
设圆柱的半径为，则，解得，
要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可，
，
当时，取得最大值，
故当时，该艺术品的表面积最大。
18.解：，，
，
．
，．
设，则，
三点共线，，解得：，即．
，，
，
，，
，
，，，
，即的取值范围为．

19.解：因为，，，
所以，
由正弦定理得，即，
所以，
又，所以；
因为点是的中点，所以，
所以，
即，所以，
由余弦定理得，即，
解得，或，，所以或；
因为的面积为，所以，所以，
若点与点在直线的异侧，设，
则，，，
在中，由正弦定理得，
所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以
，
若点与点在直线的同侧，
设，此时，，，
在在中，由正弦定理得，
所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以
，
综上，的值为或．
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