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山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二下学期期中学业水平检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则．
A. B. C. D.
2.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，若的系数为，则( )
A. B. C. D.
5.某质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为：，则时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
6.高二某班级名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的一人，则次传球后球在甲手中的概率为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则( )
A.
B.
C.
D. 除以的余数是
10.某学校有两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学( )
A. 第天去餐厅的概率为
B. 第天去餐厅的概率为
C. 第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为
D. 第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为
11.双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则( )
A. 是增函数
B. 的值域为
C. 点是曲线的对称中心
D. 函数有且只有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.请写出函数的一个极值点 ．
13.现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是 ．
14.若，其中，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
已知，函数．
当时，证明：；
已知，证明：，．
17.本小题分
盒中有张相同的卡片，其中标记上号的有张，标记上号的有张．现从盒中取卡片，每次随机取一张且取后不放回，记表示第一次所取卡片的标号．
求的分布列；
若，求的值；
记表示第二次所取卡片的标号，求．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在和上各恰有一个零点，求的取值范围．
19.本小题分
箱内有个除编号外都相同的小球，编号为游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止．记游戏停止时，取球总次数为．
若，求和；
求，；
当为偶数时，记为偶数的概率为，证明：．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
由，得或，由，得，
函数的单调增区间为，单调减区间为；
由知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为，
又，，函数的最大值为．
函数在上的最小值为，最大值为．
16.解：函数，．
因为，当时，，；
当时，，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，所以．
由可知，当且时，，即．
令，
因为，所以，所以．
又，所以，所以

所以．
即，得证．

17.解：的可能取值为，
则，，，，
则的分布列为：
由可知，
因为，由期望的性质可得，
即，解得．
记事件“第二次所取卡片的标号大于”，
由可知，所以，
，所以，
所以


18.解：当时，，
，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
函数与函数的零点相同．
令，
当时，若，恒成立，不合题意
下面讨论的情形：
此时，设，，
当时，在区间上恒成立，又，
即在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，不合题意
当时，易知在区间上单调递增，
又因为，，
所以存在唯一的使得
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增
所以是的极小值点，所以
又因为，，所以存在使得，
即
当时，，在区间上单调递增
当时，，在区间上单调递减
当时，，在区间上单调递增
考虑函数，，得，
所以在上单调递增，在单调递减，且时
所以，，即
，取，
，
又因为，
所以当时，，
故，且已证在内可取到负值，故在上存在唯一零点；
即在上存在唯一零点
同理，取，
，
又因为，
所以当时，，故，
所以在上存在唯一零点，
即在上存在唯一零点，
综上，的取值范围为．

19.解：由题意，当时，可能取的值为
表示：两次取出的是相同数字，或不同数字第一次比第二次大，
所以，
所以，，
所以，
由题意，的可能取值为
表示：前次取出不同的数字，且从小到大取出，
所以，
由知，当时，
，
因为为偶数，所以，
，
所以，
所以．

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