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山东聊城市2025-2026学年度高二第二学期期中教学质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.的展开式中，第四项的二项式系数为( )
A. B. C. D.
3.设是函数的导函数，若，则( )
A. B. C. D.
4.某校举行“数学文化节”活动，有个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若存在唯一的，使得，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，某花坛中有个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白种不同颜色的花种植到这个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄种不同颜色的花，不同的种植方案种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是( )
A. 第行的第个数和第个数相等
B. 从左向右数第三个斜行如图斜线所示，前个数的和为
C. 记杨辉三角中第行的第个数为，则
D. 第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.五位同学站成一排拍照，其中甲必须站在左端或右端，则不同的站法共 种．
13.的展开式中的常数项为 ．
14.若对恒成立，则正实数的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
将个编号为，，，，的小球全部放入个编号为，，，，的盒子中．
每盒至多一球，有多少种放法？
恰好有一个空盒，有多少种放法？
把个不同的小球换成个相同的小球，恰好有一个空盒，有多少种放法？
16.本小题分
在的展开式中，前三项的二项式系数和为．
求二项式系数的最大值；
求展开式中的所有有理项．
17.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
若函数有两个零点，求的取值范围：
18.本小题分
函数．
讨论的单调区间；
若函数有两个极值点，且，求的最小值．
19.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
当时，试判断函数是否存在极值，并说明理由；
当时，证明：对任意；
若函数在定义域内存在极小值点，且满足，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，每盒至多一球，则必然每盒恰有一球，共有种放法．
先取个球中的两个“捆”在一起，有种选法，
把它与其他三个球共个元素分别放入个盒子中的个盒子，有种放法，
所以共有种放法．
先从五个盒子中选出四个盒子，再从四个盒子中选出一个盒子放入两个球，
余下三个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，
故共有种放法．

16.解：由题意可得：，即，
整理可得，解得或舍去，
又因为为偶数，所以二项式系数的最大值为．
因为的展开式通项为，
令，可得，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述：所有有理项为：．

17.解：定义域为．．
因此，切线斜率为：．
，
切线方程为：，
即：．
有两个零点，
即：与图象有两个交点．
由知，令，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减，则．
当时，；当时，．
因为与图象有两个交点，
．

18.解：由题意可知：的定义域为，且，
令，则，且，
当，即时，则恒成立，即，
所以在单调递增；
当，即时，由解得或，且，
令，解得或；
令，解得；
所以函数在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
若函数有两个极值点，
由可知：，且是方程的两个不相等的实数根，
则，即，
可得
，
令且，则，
因为，可知在上单调递减，
则，所以的最小值为．

19.解：当时，，
当时，在上单调递增．
因此，不存在极值．
当时，．
令，则．
在区间单调递减，．
令
，
令，则，令．
单调递增，，则在区间单调递增．
故不等式得证．
，则，
的极小值点满足，显然．
设，则在上单调递增，
当时，，当时，，
，使得．
当单调递减；
当单调递增；
所以函数在定义域内存在极小值点，此时．
，
．
令，则等价于．
令，令，则．
当时，单调递增；
此时，则，此时，
因为且，所以，
因此恒成立，
当时，单调递减．
当时，．
由得，即．
，令，
在单调递增，．

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