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山东日照市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列的首项，公差，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.函数定义在区间，则“在上恒成立”是“在区间单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件
4.设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.记数列的前项和满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为( )
A. B. C. D.
8.若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. 和的等比中项为
C. 取最大值时，的值为或 D. 若，的最大值为
10.已知函数，则( )
A.
B. 函数有两个极值点
C. 方程有两个不同的根
D. 若函数在定义域内为增函数，则
11.已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则 ．
13.已知函数在处有极小值，则 ．
14.已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．
求数列的通项公式；
若数列数列的前项和为，求．
16.本小题分
已知函数，．
若函数在点处的切线方程为，求，的值；
若函数在上单调递增，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数的一个极值点是．
当时，求的单调区间；
设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，．
求的通项公式；
设第个群中所有项的和为，求；
在的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数和，直线与两条曲线和均相交．
若直线与两条曲线共有个不同的交点，求实数的取值范围；
求同时与曲线和相切的直线条数；
若直线与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由．
注：，
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设数列的公差为因为，
所以，解得
所以；
由可得，
所以
．

16.解：由题，，因为在处的切线为，所以，
代入得切点为，切点在切线上，则．
由题，求导得，
由在上单调递增，得在上恒成立，
当时，，因此在上恒成立，又，则

17.解：，
，
因为函数的一个极值点是，
，即，则有，
则，
当时，令得或，列表如下：
减 增 减
满足是函数的极值点；
综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减．
由知，，且，
在单调递增，在单调递减，
又，，
在上的最大值为，最小值为，
又时函数在单调递增，
在上的最大值为，最小值为，
因为存在，，使得成立，
即存在，，使得成立，
则
又，解得，
所以实数的取值范围为．

18.解：由，两边取倒数得．
由，得又，故．
所以是以为首项，为公差的等差数列．
故．
分群规律：第个群项，第个群项，，第个群有项
前群共有项数：．
所以第群首项为，末项为．
，
项数为，则
．
时，，
．
时也满足，故．
由，得．
令．．
又，．
时，时．
故最小值为．
所以，实数取值范围为．

19.解：函数和的定义域分别为和，
又，，
令得，令得，
当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，
当时，；当时，；当时，，，
又，
如图，因为直线与两条曲线和共有个不同的交点，
所以的取值范围为．
设函数和在点和处的切线分别为和，
即和，
由题意可得，，
由于，消去可得，即，
令，，
由和可知，
则，
当时，，，则；
当时，，
则在上单调递增，此时，
所以当时，，
当时，，当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
而，，
当时，，由零点存在定理，存在，使得，
故存在两个零点和，则与这两条曲线都相切的直线条数为．
由可知且，
再由可知，而，
函数在上递减，因此，
同理可得，
又，于是，从而有，
要使，，，依次成等比数列，只需保证，即，
利用，可得，，则，
故，
于是，
即，
令，则，
令，则，
令，则，
则在单调递增，
又，，故存在使得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
又，则，
而，，
故在上存在两个零点，且，
当时，由可知，
两边同时减去整理得，
令，则，故在单调递减，
因为，
而，由在单调递增可知，
即，故，则，
再由可知，与矛盾，
所以区间上满足题意的是唯一的，即，此时的值也是唯一的，
故存在唯一的，使得，，，依次成等比数列．

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