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江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则整数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
2.定义在上的函数，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数在区间上是单调递增函数，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
5.学校各选派了位男、女教师参加某项活动，且位教师被分到个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.设为正奇数，则被整除的余数为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知不等式对任意恒成立，则正数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求函数的导数正确的有( )
A. B.
C. D.
10.若，其中，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的有( )
A. 直线与直线共面
B. 直线
C. 点到平面的距离为
D. 直线与直线所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为 ．
13.的展开式中的系数是 ．
14.已知函数，若，都有，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中第三项的系数为．
求；
求展开式中的有理项．
16.本小题分
已知函数其中在处取得极小值．
求，的值；
若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值．
17.本小题分
某种圆柱形饮料罐的容积固定为，底面半径为 ，上、下底面用料成本均为分，侧面用料成本为分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利分．
请用含的式子表示每罐饮料的实际利润分；
当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润．
注：每罐饮料的实际利润每罐饮料获利饮料罐用料总成本．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，是的中点，，，，．
求证：；
求证：平面，并求直线和平面的距离；
求平面与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，求曲线在处的切线方程；
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
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11.
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13.
14.
15.解：因为的展开式中第三项为，
则，即，解得或舍去，
所以．
因为的展开式通项为，
令，解得，
若，可得；
若，可得；
若，可得；
所以展开式中的有理项为，，．

16.解：对求导得，依题意有且，
即有，得．
由有，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
在处取得极大值，在处取得极小值，
当时，在上的最大值为，
当时，在上的最大值为，
当时，在上的最大值为或，
令即，因式分解得
，
即，由图像可知，当时，在上的最大值为，
当时，在上的最大值为，
综上所述，，所以的最大值为．

17.解：因为圆柱形饮料罐的容积固定为，
所以，则，
则每罐饮料的获利为容积乘以每毫升利润分，
上下底面面积总共为，因为上、下底面用料成本均为分，所以上下底面成本为分，
侧面面积为，成本分，则侧面成本为分，
因此，总成本，
利润，则．
令，则，
令，解得，即，
，可得，因为，所以时，单调递增，时，单调递减，
故是极大值点，则代入，可得，
所以分，即当饮料罐的底面半径时，每罐饮料的实际利润最大，最大实际利润为分

18.解：因为平面，且，平面，
则，，
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
因为为的中点，则，
所以，
则，所以；
设，根据，即，
可得，所以，
又，则，
设为，则，即
令，则，，故，
因为，又平面，
所以平面，
且，则点到平面的距离为，
所以直线和平面的距离为；
由，
设平面的法向量为，则，即
令，则，，故，
所以平面与平面所成角的余弦值为．

19.解：当 时，函数为：，
求导：，
计算 处的函数值与导数值：，，
切线方程为：，即．
先求导：，
令，则，
因为，故 的符号由 决定，
当 时，，故 对所有成立， 在上单调递减，
当 时，令，得，即，
当 时，，，单调递减；
当 时，，，单调递增．
综上：时， 在上单调递减；
时， 在上单调递减，在上单调递增．
由的单调性结论：
时，在上单调递减，最多只有一个零点，不符合题意；
时，在 处取得最小值：
，
令，求导：，
故在上单调递增，且，
当 时，，此时 在 处的最小值小于；
又当 时，；当 时，，故 有两个零点，
当 时，，此时仅有一个零点；
当 时，，此时无零点．
综上，的取值范围是．

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