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河南焦作市马村区2026届高三下学期4月考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知锐角，满足，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有个数据为：，，，，，，，，，，对于该组数据，下列说法中正确的有( )
A. 众数是 B. 平均数是 C. 极差是 D. 中位数是
10.设双曲线：的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点则( )
A. 是直角三角形 B. 是等腰直角三角形
C. D. 直线的斜率为
11.选取正方体表面上两个不同的点，，定义第次操作为“将正方体绕直线旋转角”则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有( )
A. ， B. ，，
C. ， D. ，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布若，则 ．
13.数列中，，数列的前项和，则数列的前项和 ．
14.已知函数为自然对数的底数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知，，．
求的值
证明：．
16.本小题分
乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年油纸伞的销量数据如下表：
年份年
年份代码
销量万把
统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过万把：
已知该工坊年售出的油纸伞中，有万把通过线上售出，用频率估计概率，现从年售出的油纸伞中随机抽取把，求其中线上售出数量的分布列．
附：为回归直线方程，．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线．
求的方程；
直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
若有极小值，且，求的取值范围．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点．
设平面平面，求直线与直线的夹角大小；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值；
设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围．
参考答案
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12.
13.
14.
15. 证明：因为，
又，所以
16.解：，
，
，
，
，
所以关于的线性回归方程为；
当，
所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过万把．
该工坊年售出的油纸伞中，有万把通过线上售出，用频率估计概率，
所以年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为，
由题意可知：，
所以，
，
，
，
所以其中线上售出数量的分布列为：

17.解：设，则．
直线的斜率，直线的斜率．
由，得，即．
整理得，即，故，即
所以的方程为
设在上，则．
点与关于轴对称，故．
直线的方程为，令，得，所以．
直线的方程为，令，得，所以．
设，如图所示：，．
由，得，即．
由，得．
代入得，即．
因为，所以，即．
故存在点，坐标为或．

18.解：当时，，所以
所以切线方程为即，
，
若，可得时，，所以在上单调递增；
若时，当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由可知当时，有极小值，极小值为，
此时极小值也是最小值，由，可得，，
又，所以
令，求导得，
所以在上单调递减，又，
当时，，当时，，
所以时，，此时满足，
所以的取值范围

19.解：延长交的延长线于点，则为交线，
因为为的中点，，所以为的中点，所以，
因为侧面是等边三角形，所以，，
所以，，所以，
所以所求直线与直线的夹角为；
取的中点，连接，由，则，
分别以，所在直线为轴和轴，以过垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
设直线与平面所成角为，
则，．
令，，则，
令，结合的取值范围可知，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以
由题意可知，所以点为的中点，
设，，
因为，，
，
所以，
所以，，，所以．
即
，
因为，所以
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