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福建省南平市2026届高三年级第二次适应性练习数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的，回答正确率为；文史类占总提问的，回答正确率为，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.已知二项式的展开式中所有项的系数和为，若，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为
C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递减
7.勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为，为弧上任意一点，则的范围为( )
A. B. C. D.
8.已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知各项均为正数的数列：，，，，，，其中奇数项成公差为的等差数列且和为，偶数项成公比为的等比数列且和为，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. 上四分位数为 D. 下四分位数为
10.已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则( )
A. B. 是偶函数
C. D. 在上是减函数
11.如图，在棱长为的封闭正方体容器容器壁厚度忽略不计内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是( )
A. 平面截正方体所得截面不可能为五边形
B. 平面截正方体所得截面面积的最大值是
C. 两球半径之和为定值
D. 两球体积之和的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用函数拟合一组数据，则观测数据的残差为 ．
13.若，，且，则的最小值为 ．
14.已知等差数列的公差为，若对任意，，总存在，使得，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，．
若，求的周长；
是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16.本小题分
如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的大小．
17.本小题分
已知椭圆的焦点为，，离心率为平行于轴的直线与椭圆交于，两点，且与直线交于点，直线与轴交于点
求面积的最大值；
求的值．
18.本小题分
定义：函数图象上不同的三点，若它们的横坐标依次成等比数列，且该函数在点处的切线的斜率恒小于直线的斜率，则称该函数在点处“等比偏移”；若函数图象上任意一点都满足“等比偏移”，则称该函数是其定义域上的“等比偏移”函数设．
讨论函数的极值；
当时，判断函数在点处是否“等比偏移”请说明理由；
若，试证明：函数是其定义域上的“等比偏移”函数．
参考数据：，
19.本小题分
在棱长为个单位的正四面体中，一个质点从顶点出发，每次等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的．
若质点移动了次，记其经过点的次数为，求的分布列及数学期望；
若质点移动了次，质点回到点的概率为．
(ⅰ)求数列的通项公式；
(ⅱ)设，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
，
，即，
或，
，，或，
当时，边最长，与条件矛盾，故舍去；
当时，则，又，，
，解得．
，，，的周长为；
存在，理由如下：
显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，
由三角形三边关系可得，即，可得，
是正整数，故．

16.解：思路一：
由是直径可知，则是等腰直角三角形，故，
由圆柱的特征可知平面，又平面，所以，
因为，，平面，则平面，
而平面，则，
因为，则，所以，
，
所以，
所以，即，
因为，，，，平面，
所以平面，
又平面，故平面平面．
思路二：因为，则，，，
所以，
所以，即，
同理可证，
在二面角中且，
所以为二面角的平面角，
由思路一知，所以二面角为直二面角，即平面平面
由题意及易知，，两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，
由知平面，故平面的一个法向量是，
设是平面的一个法向量，
则有，取，可得
设平面与平面夹角为，
所以，
则平面与平面夹角的大小为．

17.解：因为椭圆的离心率为，故，，
所以椭圆的方程为，如图，
设，，其中，，
因为在上，所以，
由基本不等式，，
故，当且仅当时，等号成立，
所以面积，即面积的最大值为．
设，，则，，三点共线，
所以，即，解得，
所以，
，
所以．

18.解：首先的定义域为，．
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，由于函数与在上单调递增，
所以在上单调递增，
令，
所以，当时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又
所以在处取得极小值，，无极大值．
解：方法一：
结论：当时，在处不“等比偏移”，理由如下：
当时，，，
在处的切线斜率为，
取，，，，
，
即，
所以当时，在处不“等比偏移”
方法二：
所以当时，在处不“等比偏移”．
一般的，取，，三点的横坐标成等比数列，设，，，
直线的斜率为，
取就是上面的特例；
若取，则有
，
即，
所以当时，在处不“等比偏移”．
经检验，取或都成立；
证明：思路一：设，，不妨设，则，
要证是其定义域上的“等比偏移”函数，只要证．
因为，，
，，
，
故只要证，
由均值不等式知：，
当时，式显然成立；
当时，要证式，只要证，
只要证，即证．
设，，则只需证：当时，恒成立．
令，当时，
因为，
所以在上单调递减，从而，命题获证．
思路二：以上证法同思路一．
若设，，则只需证：当时，恒成立．
令，因为，
所以在上单调递减，从而，命题获证．

19.解：依题意可得，的所有可能取值为，
则，，
，
则的分布列为
所以．
由质点每次等可能地随机沿棱移动个单位可知，若质点移动了次，次后质点到三点的概率相同，记为，易知，，
若质点移动了次，，
若质点移动了次，由三点等可能地向点移动，故，
则，即，所以，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．
，所以，是递减数列，
设，，，
所以函数在上单调递增，
所以由得，
即，
所以，
则．

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