资源简介

北京市石景山区2026届高三5月统一练习数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数是偶函数，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
5.设，是两个不重合的平面，则的充要条件是( )
A. 存在无数条直线与，都平行
B. 存在无数个平面与，都垂直
C. 对任意的直线，都存在直线，使得
D. 对任意的直线，都存在直线，使得
6.已知函数若存在个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.人们通常以分贝符号是为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为( ) 参考数据：
A. B. C. D.
8.若，则的值为( )
A. B. C. D.
9.在中，，，为边上的中点，，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.在正方体中，是棱的中点，是正方形及其内部的点构成的集合，设集合，则表示的轨迹是( )
A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.函数的定义域是
12.设向量与不共线，向量与共线，则 ．
13.设双曲线：，若直线与双曲线无公共点，则的一个取值为 ．
14.等比数列满足，，则 ；若，则的最大值为 ．
15.已知，，且给出下列四个结论：
有最小值；
无最大值；
有最小值；
无最大值．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．
求的值；
求在区间上的最大值和最小值．
条件：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为；
条件：；
条件：函数在区间上具有单调性，且．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
设平面与平面的交线为，求直线与直线所成的角．
18.年春节期间，模式口历史文化街区推出“骐骥献瑞”主题集章打卡活动游客可以收集“龙马献瑞”，“马到成功”，“马效炎德”，“马奔财乡”，“奇骏延年”，“马行无疆”个蕴含马年吉祥寓意的专属印章为了解不同年龄段游客的打卡习惯，从参与活动的人群中随机抽取名游客，统计他们集章情况如下表同一题材重复集章只计个：
组别 集章个 集章个 集章个 集章个 集章个 集章个 各组总人数
青年 人 人 人 人 人 人 人
中年 人 人 人 人 人 人 人
老年 人 人 人 人 人 人 人
每个游客的打卡行为相互独立．
从上表的青年组中随机抽取名游客，求该游客集章个数不少于的概率；
从参与打卡活动的青年和中年游客中各随机抽取人，用上表统计的频率估计概率，试估计这人中“恰有人集章个、人集章个”的概率；
将青年、中年、老年组的组别分别编码为，，，用上表统计的频率估计概率，从集章个数为的游客中随机抽取人，记该游客的组别编码为，写出满足的值的个数结论不要求证明
19.已知椭圆：的离心率为，其左顶点为，上顶点为，，直线平行于且与椭圆交于不同的两点，．
求椭圆的方程；
是否存在直线使得，，，为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时的方程；若不存在，请说明理由．
20.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
令．
(ⅰ)当时，讨论函数在上的单调性；
(ⅱ)若在内存在唯一的极大值点，求实数的取值范围．
21.设递增数列中的每一项都是正整数，其前项和为对于正整数，若存在正整数，使得，则称覆盖了，记的“覆盖阶数”为定义的“覆盖滞后度”为规定．
若，，，，求和的值；
若数列是首项为，公差为的等差数列，判断是否存在正整数，使得？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由；
设前项的“覆盖滞后度”，，，的最大值为，求证：对任意的，存在，使得．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.只要满足即可，答案不唯一
14.
15.
16.解：
选条件：根据题意，解得，即，因为，所以，
则，．
选条件：由，可得，
因为正弦函数的值域为，而，所以此条件下函数不存在．
选条件：因为函数在单调，且，
所以，解得，即，因为，所以，
则，．
据题意，，，
当，即时，，所以的最大值为．
当，即时，，所以的最小值为．

17.解：如图，取的中点，连接，．
由，分别为，的中点，得，且．
又因为，且，
所以，且．
故四边形为平行四边形．所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
取中点，中点，连结，．
在正三棱柱中，平面，为等边三角形，
则，，易得平面C.
所以，．
故，，两两互相垂直，不妨设，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因此，，
设平面的法向量为，
则即
令，则于是．
取中点，则易知为平面的一个法向量．
平面的一个法向量．
所以．
由题意知二面角为钝角，所以其余弦值为．
因为，平面，平面，所以平面．
因为平面平面，平面，所以．
又因为．
设直线与直线所成角为，，
直线与直线所成角为．

18.解：表中青年组共有游客名，其中集章个数不少于的人数为，
从中随机抽取名游客，该游客集章个数不少于的概率为．
根据题中数据，“青年游客集章个”的概率可估计为；
“青年游客集章个”的概率可估计为；
“中年游客集章个”的概率可估计为；
“中年游客集章个”的概率可估计为．
所以“恰有人集章个、人集章个”的概率可估计为：．
因为青年、中年、老年组的组别分别编码为，，，
所以期望老人青年，
需满足老人青年因分母为总人数，只需比较分子，
对分别计算：
当，青年人，中年人，老年人，老年人数青年人数，；
，青年人，中年人，老年人，老年人数青年人数，；
同理，当时，老年人数都小于青年人数，所以，
综上，满足条件的值为，共个．

19.解：由已知可得，解得．
故椭圆的方程为．
据题意，假设存在平行于的直线，
设直线的方程为，设，，
联立，得，
，即，
，，
因为以，，，为顶点的四边形为等腰梯形，
所以，即成立，
，，
，
，
整理得．
代入，
得，即或，
当时，，则，
又因为，解得．
当时，直线方程为与直线重合，不符合题意，舍去；
当时，直线方程为所得四边形为平行四边形，不符合题意，舍去；
所以不存在平行于的直线交椭圆于，两点，使得以，，，为顶点的四边形为等腰梯形．

20.解：根据题意，，，
，，，
所以所求切线方程为．
时，，
，
设，则，
当时，，，所以；
当时，，，所以．
所以在单调递减，在单调递增．
所以当时，，
所以在上单调递增．
(ⅱ)由已知，，
，
当时，，
所以在上单调递增，不合题意．
当时，设，则，
当时，，，所以；
当时，，，所以．
所以在单调递减，在单调递增．
因为，当，；当，，
所以存在，，使．
当变化时，，情况如下：
所以在上存在唯一的极大值点，符合题意．
综上所述，

21.解：因为，，，，
所以，，，，，
所以，所以，，
所以，．
由已知得，．
设存在正整数，使得，
则，，，
可得，，
所以，解得．
因为，所以，．
检验：，，，
所以，符合题意．
综上所述，存在唯一的符合题意．
当时，，，．
当时，设，则，
所以，，
因为，所以，
所以．
任取，设是，，中首次达到或超过的项，
即且．
因为，所以，即，
所以．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑