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福建泉州市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则图中阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
2.已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于( )
A. B. C. D.
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年国庆期间该市和两个景区的日接待人数的数据单位：万人，绘制了如下折线图，则( )
A. 景区这日数据的第分位数是
B. 景区这日数据的极差是
C. 景区这日数据的平均数比景区的两倍小
D. 景区这日数据的方差比景区的大
4.在公差为的等差数列中，，，成等比数列，则的前项和为( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则( )
A. B. C. D.
6.“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
7.某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等已知大、小两种西瓜的售价分别为元个、元个，且半径之比为：若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作为西瓜的性价比，则( )
A. 大西瓜的性价比高 B. 小西瓜的性价比高
C. 大、小西瓜的性价比一样 D. 大、小西瓜的性价比的高低不确定
8.已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记为数列的前项和，若，，则( )
A. B. 为等比数列
C. D. 为等差数列
10.已知点在直线上，点，在圆上，若，且，则下列说法正确的是( )
A. 当时，直线与圆相切
B. 直线倾斜角为
C. 当时，可能为
D. 若，则的取值范围为
11.已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，则 ．
13.对于复数，，定义为的实部若，，则可以为 写出一个满足条件的答案
14.已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心若，且，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知锐角的面积为，且．
若，求；
若，且，求．
16.本小题分
某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满元可抽奖一次抽奖规则如下：箱中共有个红球和个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出个球，若摸出的红球不少于个则中奖，否则不中奖各次抽奖互不影响．
求抽奖一次中奖的概率；
商场规定每中奖一次，返现元设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元若事件“”的概率最大，求的最小值．
17.本小题分
如图，在梯形中，，，，于，，将沿翻折至，使得，如图．
证明：平面；
已知四棱锥的体积为，若点在线段上，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点．
求直线的方程；
设，为椭圆上的两个动点，在四边形中，．
(ⅰ)证明：直线与的斜率之积为定值；
(ⅱ)设为坐标原点，过的直线交于，两点，，其中判断是否存在直径为的圆经过，，，四点？若存在，求；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中，数列满足，．
设，若，求的最大值；
若，证明：当时，；
当时，，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 答案不唯一，满足即可
14.
15.解：由题意，，
将与代入解得；
因，结合图形可知点在线段的反向延长线上，且，
由可得，则，
因为锐角三角形，则，
在中，由余弦定理，，
则，又由余弦定理，，
在中，由余弦定理，，
则，在中，由正弦定理，，
则有．

16.解：设“抽奖一次中奖”为事件，则．
设抽奖次数为，则表示的整数部分．
事件“”表示中奖次数为次，设表示中奖次数，
则．
因为事件“”的概率最大，
所以
所以．
又，所以．
由，解得，即的最小值为．

17.解：连接，在梯形中，因，则，
，，则，又，则，
翻折后在中，，则得，
因，，平面，故平面．
由得平面，且，
故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系．
设，由，解得，
则，
依题意，设，则，可得，
则，，
设平面的法向量为，
则，故可取．
因平面，则平面的法向量可取为，
依题意，
因，方程化简得，解得，此时，
因，设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：椭圆，令得正半轴，故；
令得正半轴，故，
由截距式得直线方程为：，
即 ．
由，设直线，，
联立与椭圆方程：，整理得，
由韦达定理得：，
，
故斜率之积为定值，得证．
设，由得：，
由，，得： ，
点在椭圆上，代入椭圆方程得，即，
若在圆上，且关于原点对称，则圆的方程必为，
圆心在原点，直径为，故，则圆的方程为，
联立与椭圆，得，无实根，
因此不存在这样的点，故不存在满足条件的圆．

19.解：当时，，定义域为，
，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为．
令，
，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即，即，
当时，，
由题意得，
所以，若，则，
又因为，所以，，，
由知，即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
不等式两边同时取对数得，
即，
因为，所以，
所以，
，
，
，
将上式相乘可得，即，
故当时，，
所以．
由题意得，数列单调递增，故，
因为在上单调递增，则，
又因为，所以，
因为，所以，得，解得，
又因为，故是的必要条件，
下证充分性：
当时，因为，
设，
，
所以在上单调递减，
所以，所以当时，，
所以，当且仅当时，等号成立，
当时，由得，解得，
故，
所以，即，
又在上单调递增，故，
同理可得，，，
故当时，，充分性得证，
综上的取值范围为．

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