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【期末真题汇编】浙教版七年级数学下册 第三章 整式的乘除 解答题 分析
三、知识点分布
一、解答题
1 0.65 通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用
2 0.65 已知式子的值，求代数式的值；平方差公式与几何图形；完全平方公式在几何图形中的应用
3 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；平方差公式与几何图形；完全平方公式在几何图形中的应用
4 0.65 列代数式；求其他不规则图形的面积；整式的混合运算；二元一次方程的解
5 0.65 单项式乘多项式的应用；列代数式；整式加减的应用
6 0.65 计算多项式乘多项式；多项式乘法中的规律性问题；代入消元法
7 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；完全平方公式在几何图形中的应用；整式加减的应用
8 0.65 乘方运算的符号规律；运用完全平方公式进行运算
三、知识点分布
9 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用
10 0.65 计算多项式乘多项式；已知多项式乘积不含某项求字母的值
11 0.65 列代数式；其他问题(一元一次方程的应用)；运用完全平方公式进行运算；其他问题(二元一次方程组的应用)
12 0.65 运用平方差公式进行运算；数字类规律探索；运用完全平方公式进行运算；整式加减的应用
13 0.65 列代数式；已知字母的值 ，求代数式的值；整式的混合运算
14 0.65 运用完全平方公式进行运算；通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用
15 0.65 计算多项式乘多项式；已知字母的值 ，求代数式的值
16 0.85 通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用
17 0.85 通过对完全平方公式变形求值
18 0.85 运用平方差公式进行运算；数字类规律探索
三、知识点分布
19 0.65 已知式子的值，求代数式的值；通过对完全平方公式变形求值
20 0.65 通过对完全平方公式变形求值
21 0.65 计算多项式乘多项式
22 0.65 多项式乘多项式与图形面积；完全平方公式在几何图形中的应用；约分
23 0.65 运用完全平方公式进行运算
24 0.65 列代数式；异分母分式加减法；通过对完全平方公式变形求值
25 0.65 分式化简求值；已知式子的值，求代数式的值；整式四则混合运算【期末真题汇编】浙教版七年级数学下册
第三章整式的乘除 解答题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，两张边长分别为的正方形纸片．
(1)如图2，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35．
①求两张纸片的面积和；
②求两张纸片的边长差；
(2)如图3，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知两张纸片的边长差为2，两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积．
2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已 知M是的中点，点P在线段 上，分别以，为边，作正方形和正方形，设，．

(1)如图1，用关于a，b的代数式表示正方形和正方形的面积之差．
(2)如图2，连结，，若 ，求四边形的面积，
(3)如图3，连结，，，若正方形 和正方形 的面积之和为50， 四边形的面积为24，求的面积．
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像．
(1)请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积．
(2)当，时，求对应面积的值．
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，其中大于．
(1)若，，求阴影部分的面积．
(2)请用含，的代数式表示阴影部分的面积．
(3)若图中空白部分的面积比阴影部分的面积大，且，为整数，求的值．
5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成．小吴同学将其重新剪拼，得到一幅新图形乙．
(1)若甲为正方形，则乙的周长可表示为______．（用含a的代数式表示）
(2)若猜测a与b之间的数量关系，说明理由．
6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律：
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边=右边；
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为3，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为2，左边=右边．
(1)类比探究：
请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）
(2)基础应用：
请根据上述规律填空：
①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________；
②若t，r为常数，满足，则__________；
(3)拓展应用：
若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值．
7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为．
(1)若，，，直接写出的值．
(2)若，，求的值．
(3)已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值．
8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法：
解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1．
(1)求代数式的最小值．
(2)求代数式的最小值．
(3)求代数式的最小值．
9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，用图1所示的4张完全相同的长方形和1张小正方形无缝衔接拼成图2所示的一个大正方形，其中长方形的长为a，宽为b，且．
(1)若，，求小正方形的边长．
(2)用两种不同的方法表示图2中的阴影面积，并写出一个等式．
(3)若，，利用（2）中的等式求小正方形的面积．
10．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于关于x的四个多项式（是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量．
例如：对于多项式，
因为
所以这种组合为消元组合，其消元余量为．
因为，结果不是常数；
所以这种组合不是消元组合．
(1)若多项式，判断是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由．
(2)若多项式存在消元组合，则p的值为________．
(3)若多项式存在消元组合，求a与b的关系式．
11．（24-25七年级下·浙江金华·期末）运动会开幕式需要各代表队按正方形方阵（行数和列数相等）入场展示．如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是正方形形状）两种形式．
(1)7列2层空心方阵有 人，列2层空心方阵有 人．（用含的代数式表示，其中为大于4的正整数）
(2)某代表队可以排成列2层空心方阵，也可以排成列3层空心方阵，且比多1，求m，n的值．
(3)某代表队共有72人，请设计一个正方形方阵，要求全体成员都能参加．（写出一种方案即可）
12．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一列整式依次为：，，，，…；
另一列整式依次为：，，，．
(1)求和．（用含m的代数式表示）
(2)求和，并归纳出的规律．（用含m，n的代数式表示）
(3)若，求m的值．
13．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，每个小长方形的长为，宽为．
(1)用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简；
(2)当，时，求该零件模型的面积．
14．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图1，用四个相同的面积均为3的长方形①②③④和一个小正方形⑤拼成一个大正方形，其中长方形的长为，宽为．
(1)如图1，用含，的代数式表示小正方形⑤的面积．
(2)借助图1，请直接写出代数式，，之间的数量关系．
(3)现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移个长度，得到一个新的图形如图2所示，若阴影部分图形，，Ⅲ的面积和为12，求代数式的值．
15．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，一块长方形农场米，米，为了扩大农场面积，计划将增加2米，增加3米．
(1)扩大后农场的面积增加了多少平方米？
(2)现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉．经了解，花卉的种植成本为每平方米60元．若米，这个种植计划能实现吗？请说明理由．
16．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）用图①所示的4张边长为m，n的长方形纸片，无重叠、无缝隙地拼成图②所示的大正方形，中间阴影部分是小正方形．
【字母表示】
（1）用含m，n的代数式表示大正方形与小正方形的面积之差；
【观察归纳】
（2）观察图②，写出，，之间的等量关系；
【问题解决】
（3）若，，求的值．
17．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）基础体验：（1）若实数满足，求的值．
进阶实践：（2）若实数满足，求的值．
对于（2），甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出x的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难．乙同学：本题中的x与隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第（1）题的形式求解．请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第（2）小题．
18．（24-25七年级下·浙江温州·期末）在一些日历牌上，我们可以发现日期数满足某些规律．如图是2025年6月的日历牌．若任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，发现：；．
(1)根据题目所给规律，再选择一个试一试，看看结果是否都相同．
(2)请用代数式运算的知识说明理由．
19．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：
① ②
【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为，，我们把“”“”“”“”看成两公式中的四个“结构性元件”，这样已知四个“结构性元件”中的任何两个，就能通过推理计算求出另外两个．
【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
【问题解决】若，则的值为______．
20．（23-24七年级下·浙江金华·期末）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值
进阶实践：（2）若实数x满足，求的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积．
21．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）观察下列等式，可以发现一些规律．
①．左边两项系数之和为2，两项系数之和为3，右边三项系数之和为6，满足算式；
②．左边两个因式各项系数之和分别为3，4，右边各项系数之和为12，满足算式．
(1)任写一个较简单的多项式，把你写的多项式与多项式相乘并计算．类比①或②，写出结论．
(2)若m，n为常数，且，求m，n的值．
(3)根据上面的规律，求的展开式中各项系数的和．
22．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形（）．
(1)观察图形，代数式可因式分解为______；
(2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
①用含的代数式表示；
②若，求的值．
23．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法：
解：，
是非负数
当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最小值；
(3)若，求的最大值．
24．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等．
(1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____．
(2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值．
(3)在（2）的条件下，若，当时，求的值．
25．（23-24七年级下·浙江金华·期末）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）先化简代数式，若是满足的整数，从中选一个恰当的的值代入求出代数式的值．【期末真题汇编】浙教版七年级数学下册
第三章整式的乘除 解答题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)①65；②；
(2)8
（1）①由题意得，根据进行计算即可；
②由题意得，由即可求出答案；
（2）由题意得，根据求出的值，结合图象利用三角形面积公式即可求解．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）①由图可知，
，即，
∴两张纸片的面积和；
②
，
；
（2）由题意得，，
如图：
2．(1)
(2)20
(3)
本题考查完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握两个公式是解题的关键．
（1）结合所给的已知条件先求出两个正方形的边长，从而计算出它们各自的面积，从而求出两正方形的面积之差；
（2）根据题意得出，再代入即可求解．
（3）根据（2）可得，正方形 和正方形的面积之和为，根据正方形 和正方形的面积之和为50， 四边形的面积为24，得出，，即可得，，根据完全平方公式得出，，再根据即可求解．
（1）解：∵是的中点，，
，
∵四边形和四边形是正方形，
，，
令正方形和正方形的面积之差为，
．
（2）解：∵，，
∴
．
（3）解：根据（1）（2）可得正方形和四边形的面积之差为，，
正方形 和正方形的面积之和为，
∵正方形 和正方形的面积之和为50， 四边形的面积为24，
∴，，
∴，，
∴，，
∴（负值已舍去），（负值已舍去），
∴
．
3．(1)
(2)
本题考查整式的混合运算，代数式求值，根据图形，正确列出算式是解题的关键．
（1）根据阴影部分面积=长方形面积正方形面积，列算式，再进行整式的混合运算；
(2)在第(1)问的基础上代值计算，一定要注意运算的顺序是先计算乘方，后计算乘法，最后才是加法．
（1）解：
；
（2）解：当，时，
原式．
4．(1)
(2)
(3)
本题主要考查了割补法求图形面积，列代数式，整式的混合运算，求二元一次方程的整数解，熟练掌握整式的混合运算是解题关键．
（1）延长、交于点，根据，将、代入计算，即可求解；
（2）根据列式，整理，即可求解；
（3）根据题意，得，得，根据、为整数，且大于，即可求解．
（1）解：如图，延长、交于点，
正方形和正方形的边长分别为和，，，
．
（2）解：根据题意，得：
．
（3）解：根据题意，得：，
图中空白部分的面积比阴影部分的面积大，
，
，
，为整数，
或，
大于，
．
5．(1)；
(2)，理由见解析．
题目主要考查整式的混合运算，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且，然后表示出大长方形的长为：，宽为：，求出周长即可；
（2）根据题意得，再由面积比即可求解．
（1）解：根据题意得，小长方形的长为，宽为b，正方形的边长为a，且，
∴大长方形的长为：，宽为：，
∴乙的周长可表示为：，
故答案为：；
（2）
，即．
6．(1)成立，过程见解析；
(2)①0；②；
(3)．
本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程．
（1）类比探究：先展开多项式，再分别验证系数之和、首末项系数的规律；
（2）基础应用①：利用“系数之和的乘积”直接计算；
基础应用②：通过首末项系数对应关系求参数，再验证中间项；
（3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q．
（1）展开计算：
．
验证规律：
左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边右边；．
左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为，左边右边．
（2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为，
∴故展开式各项系数之和为0；
故答案为：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
∴，
故答案为：．
（3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
7．(1)40
(2)10
(3)8
题目主要考查整式的加减运算及求值，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）图1中的阴影部分周长可以转化为长方形的周长，它的长与宽都很容易找到，只要套用长方形的周长公式计算即可；
（2）两个图形中的阴影部分的面积都可以转化为两个不同的矩形面积之和，再分别用相应的代数式表示出来，通过运算化简得到，而，，整体代入就能得出答案．
（3）同样设长方形的宽为x，长为y，由（2）可知，结合这一问给出的条件可以变形得到，同时利用可以求出，代入计算即可．
（1）解：作辅助线如图所示
∵
∴，
∴；
（2）解：作辅助线如下图
设，
∴，，
∴，
由题意得：，，
∴
（3）解：设，且（）
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（2）得．
8．(1)
(2)7
(3)6
本题考查配方法的应用，熟悉完全平方公式的结构特征和平方式的非负性是解答的关键．
（1）仿照题干例题求解过程解答即可；
（2）将原式配方得，根据的非负性求解即可；
（3）将代数式经过两次配方可得，再根据的非负性即可求得答案．
（1）解：，
因为是非负数，
所以当时，取最小值；
（2）解：，
因为是非负数，
所以当，即时，取最小值7；
（3）解：
，
观察出当或时，，此时取最小值6．
9．(1)4
(2)或或
(3)28
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用利用完全平方公式变形求解等知识．
（1）根据小正方形的边长为代入计算即可．
（2）方法1：直接计算四个长方形的面积，方法2：用大正方形的面积减去空白正方形的面积．根据阴影部分面积相等即可得出等式．
（3）利用（2）种得出的等式代入计算即可．
（1）解：小正方形的边长为：．
答：小正方形的边长为4
（2）解：方法1：．
方法2：．
∴或或
（3）解：当，时，
．
答：小正方形的面积为28．
10．(1)是消元组合，消元余量为．
(2)或8或2
(3)或
本题考查多项式乘多项式的应用，理解题中定义，熟练掌握多项式乘法运算法则是解答的关键．
（1）先求得结果，再根据题中定义可作出判断；
（2）分三种情况，，求解即可；
（3）分三种情况，，求解即可．
（1）解：由题意，
，
结果是常数，
∴这种组合为消元组合，其消元余量为．
（2）解：分三种情况：
若组合是消元组合，
∵
，
∴，解得；
若组合是消元组合，
∵
，
∴，解得；
若组合是消元组合，
∵
，
∴，解得；
综上，p的值为或8或2；
（3）解：分三种情况：
①
，
若组合是消元组合，
则，解得；
若组合是消元组合，
②
，不可能为常数，
∴组合不是消元组合；
③
，
若组合是消元组合，
则，解得；
综上，a与b的关系式为或．
11．(1)40；
(2)
(3)11列2层空心方阵（答案不唯一）
（1）根据图形列式计算即可；
（2）根据“排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多1”列方程组求解即可；
（3）设正方形方阵为a列2层空心方阵，根据题意列方程求解即可．
（1）解：由题意可得，7列2层空心方阵有：；
x列2层空心方阵有：，
故答案为：40；．
（2）解：由题意可得：m列2层空心方阵人数：；
n列3层空心方阵人数：，
∴，
解得：．
（3）解：设正方形方阵为a列2层空心方阵
根据题意得，
解得
∴可以为11列2层空心方阵．（答案不唯一）
本题主要考查了列代数式、二元一次方程组，完全平方公式，一元一次方程的应用等知识点，找到相等关系列出方程组是解题的关键．
12．(1)，
(2)，，
(3)
本题考查了数字类规律探索，整式的加减运算，平方差公式和完全平方公式，找到两列整式的变化规律是解题的关键．
（1）根据，求解；
（2）根据，求解，观察可找出规律；
（3）结合（2）中结论，利用平方差公式求解．
（1）解：由题意知，，
；
（2）解：，
，
以此类推，；
（3）解：，
，
，
，
解得．
13．(1)
(2)67
本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、平方差公式和合并同类项法则．
（1）根据该零件模型的面积=大长方形的面积-2个小长方形的面积，列出算式，再根据多项式乘多项式法则、平方差公式和合并同类项法则进行化简即可；
（2）把代入（1）中化简的结果进行计算即可．
（1）解：该零件模型的面积为：
；
（2）解：当时，
该零件模型的面积
．
14．(1)
(2)
(3)
（1）本题主要考查完全平方公式的几何验证。掌握通过图形分割与面积加减关系推导代数恒等式，理解 “以形证数” 的数学思想是解题的关键。通过大正方形与内部四个长方形的面积关系，推导小正方形面积表达式，从而验证完全平方公式的几何意义。
（2）本题主要考查完全平方公式的几何意义。掌握通过图形分割利用面积相等关系验证代数恒等式，理解 “数形结合” 思想在公式推导中的应用是解题的关键。通过大正方形面积由小正方形面积与四个长方形面积组成的关系，推导完全平方公式的变形等式。
（3）本题主要考查多项式乘法、完全平方公式的应用及代数代入法。掌握多项式展开法则，灵活运用完全平方公式进行变形，结合条件判断符号是解题的关键。通过展开多项式并合并同类项，结合已知，利用完全平方公式变形求解即可。
（1）由题意可知：正方形的边长为;小正方形的边长为，
小正方形的面积为：，
即，
大正方形的面积为： ，
即，
长方形的面积为：，
则小正方形的面积为： ，
∴
（2）由题意可知：正方形的边长为;小正方形的边长为
大正方形的面积为：
即
长方形的面积为：
小正方形的面积为：
即
则大正方形的面积为：
∴
（3）由题意可知，，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴
15．(1)
(2)这个种植计划能实现，见解析
（1）先分别表示出扩大后长方形的长和宽，算出扩大后的面积与原来的面积，两者作差得到增加的面积，核心是长方形面积公式（面积 = 长×宽 ）的运用．
（2）先把代入（1）中增加面积的表达式，算出阴影区域面积，再乘以每平方米种植成本得到总花费，与元比较，判断计划能否实现，关键是代入求值和数的大小比较．
本题主要考查长方形面积公式的应用、整式的运算及代数式求值，熟练掌握长方形面积计算、整式展开与化简、代入求值比较大小是解题的关键．
（1）解：由题意得
．
（2）解：当时，
因为，
所以这个种植计划能实现．
16．（1）或；（2）；（3）．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用代数式表示大正方形与小正方形的面积差即可；
（2）根据（1）中两种方法所表示的面积相等对称等式即可；
（3）利用（2）的结论代入计算即可．
解：（1）大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为，
所以大正方形与小正方形的面积之差；
由拼图可知，大正方形与小正方形的面积之差就是4个图①的面积，即，
因此大正方形与小正方形的面积之差为或；
（2）由（1）可得，
即，，之间的等量关系为；
（3），，
．
17．（1）（2）
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，则，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
解：（1）∵，
∴
∴
∴．
（2）设，
∴，
∵，
∴，
∴
18．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了平方差公式，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，结合任意选择纵向的连续三个日期数，计算第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方，则，即可作答．
（2）设连续的三个数分别为，再根据第一个数与第三个数的乘积减去中间数的平方列式计算，即可作答．
（1）解：依题意，，
∴结果都相同
（2）解：依题意，设连续的三个数分别为．
则
．
19．（1）
（2）
（问题解决）
本题考查了完全平方公式变形求值，正确使用完全平方公式是解题的关键．
（1）将左右两边进行平方，再将代入原式即可求解；
（2）将左右两边进行平方，化简即可求解；
（3）设，，由，可得，将左右两边进行平方，再将，，代入原式化简即可求解．
（1）解：将左右两边进行平方，
可得，
将代入上式，可得，
解得：．
（2）解：将左右两边进行平方，
可得：，
即：，
解得：．
（问题解决）解：设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
化简可得，
故答案为：．
20．（1）；（2）；（3）28
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，则，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，根据题意可得，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
（1）∵， ，
∴
∴
∴．
（2）设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，
∵正方形与正方形的面积之和为65，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴长方形的面积为28．
21．(1)写的多项式是，；左边两个因式系数之和分别为2，0，右边各项系数之和为0，满足算式
(2)，
(3)2024
本题考查多项式乘多项式，发现多项式乘多项式的各个因式“系数和”的乘积与结果多项式的系数和是正确解答的关键．
（1）计算左边两个多项式中每个多项式各项系数之和，再求出“系数和”的乘积，得到规律；
（2）根据（1）的结论，即可求出、的值；
（3）由（1）（2）的规律，计算左边三个因式“系数和”的乘积即可．
（1）写的多项式是，；
左边两个因式系数之和分别为2，0，右边各项系数之和为0，满足算式；
（2），为常数，且，
，，
解得，，
（3）由（1）（2）的规律可知，
的展开式中各项系数的和为
．
22．(1)
(2)①；②1
本题主要考查了整式的乘法运算与图形，完全平方公式的应用，分式的约分：
（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解；
（2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再代入，即可求解．
（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形，
所以长方形纸片的面积为，
∵长方形纸片的长为，宽为，
∴长方形纸片的面积为，
∴，
即代数式可因式分解为；
故答案为：
（2）解：①根据题意得：；
②∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴
23．(1)2
(2)
(3)5
此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；
（3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最大值即可．
（1）解：，
∵是非负数，
∴当时，的值最小，最小值为2，
∴的最小值为2；
（2）解：
，
，
．
的最小值是．
（3）解：，
，
∴
，
，
．
的最大值．
24．(1)②③④
(2)
(3)
本题考查新定义，代数式的运算，以及利用完全平方公式的变形求值：
（1）根据新定义，逐一进行判断即可；
（2）根据新定义，进行求解即可；
（3）将值代入求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可．
（1）解：对于①，将互换后，得到，不符合题意；
对于②，将互换后，得到，符合题意；
对于③，将互换后，得到，符合题意；
对于④，将互换后，得到，符合题意；
故答案为：②③④
（2）∵是对称式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由题意，得：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（1）；；（2）；当时，原式或当时，原式．（选其中一个作答即可）
本题考查了整式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据完全平方公式、平方差公式、多项式与单项式的乘法计算，然后去括号合并同类项，最后把代入求值即可；
（2）先把括号内通分，根据完全平方公式和平方差公式化简第二项，再进行除法计算，化简后取一个使分式有意义的数代入计算即可．
解：（1）原式
，即
原式
（2）原式
是满足的整数
，，0
当，时，分式无意义
当时，原式或当时，原式．（选其中一个作答即可）

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