资源简介

1.5向量的数量积
1．如图,这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形,已知P是平面四边形内一点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．已知平面向量,若,则( )
A.2 B. C.3 D.5
3．已知向量,若,则( )
A.-3 B.0 C.3 D.4
4．已知向量,,则( )
A. B. C.3 D.
5．已知,,若,则( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6．已知点A为坐标原点,,,点O在内部,,其中,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7．已知向量满足,且向量在向量方向上的投影数量为3,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
8．已知两个单位向量，的夹角为，则( )
A.0 B. C. D.
9．已知，，若，则( )
A. B. C.-1 D.3
10．已知线段，P点满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11．已知两个非零向量，夹角为，且满足，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
12．已知,且向量与向量垂直,则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.
13．如图,在直角梯形中,,,,,分别是的中点,是以为直径的半圆弧,点P为圆弧上的一个动点,的值可能为( )
A. B.2 C. D.5
14．已知向量,,若,则______.
15．在平行四边形中,E是直线上的一点,且,若,则____________.
16．已知是边长为1的等边三角形,D为的中点,,则的最大值为________________.
17．已知中,,,O为所在平面内一点,且,则_____.
18．若向量,满足,则,的夹角为________.
19．已知平面向量与夹角为,且对任意实数t,的最小值为,则_____.
20．已知向量,,则的最大值是________.
21．的重心为G,外心为O,且,则___________.
22．已知正方形的边长为2，点P满足，则______.
23．已知向量,.
(1)若,求；
(2)若,求向量与的夹角.
参考答案
1．答案：D
解析：如图,延长,过点D做交的延长线于点E.
因为,,,所以.
由图可知当P在A点处时,在上的投影有最大值1,
当P在D点处时,在上的投影有最小值,
又因为,所以的取值范围是.
故选：D.
2．答案：B
解析：平面向量,
则,
因,则,得,
则,则.
故选:B.
3．答案：A
解析：由,得,解得.
4．答案：D
解析：.
5．答案：D
解析：
解得.
6．答案：B
解析：因为点A为坐标原点,,,
所以直线的截距式方程为,即,
因为点O在内部,
所以满足不等式组,
由,且,,
当时,由得,,点O可以是;
当时,由得,,点O是;
当时,此时不存在满足题意的正整数n,
综上所述,满足条件得点共有三个:,;
因为,
所以,,
,
所以
,
当点为时,,
当点为时,,
当点为时,,
所以最小值为.
7．答案：A
解析：设向量与的夹角为,因为,所以,
所以,解得.
故选：A.
8．答案：D
解析：依题意可得.
9．答案：D
解析：因为，所以，
即.
故选：D
10．答案：C
解析：以线段中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设点P为，
由，所以，两边平方化简整理得：
，因此，点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
因为，，所以，
又因为点满足，所以，
化简得：.
由圆方程可知，，所以，
即.
11．答案：B
解析：由向量，夹角为，且满足，可知；
所以向量在向量上的投影向量为.
12．答案：D
解析：因为,
所以,
又,
即,解得:.
13．答案：ABC
解析：如图,取的中点O,将梯形补成长方形,
设与的夹角为,
则
.
当三点共线,即时,取得最小值,,
当P与A重合时,取得最大值,
.
故.
故选：ABC.
14．答案：2
解析：由题意得,,得
15．答案：3
解析：记,又,所以,
所以,
解得.
故答案为：3.
16．答案：
解析：如图以A为坐标原点,为x轴正半轴,垂直于方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系.
,,
,得.
,.
,.
,则.
,
当时,原式有最大值.
故答案为：.
17．答案：
解析：由可知O为的外心,
故.
18．答案：
解析：由,得,
因此,,而,
所以,的夹角.
19．答案：6
解析：因为,
所以当时,有最小值为,
即,解得.
20．答案：3
解析：设,由,得到,
即,
即,即
因为,所以,
即,即,解得;
故的最大值是3.
21．答案：
解析：因为O为外心,所以,,
所以,
因为G为重心,所以,
则,
所以.
22．答案：
解析：因为，所以P为的中点，
所以.
故答案为：
23．答案：(1)
(2)
解析：(1)设,由向量,,
所以,又,所以,
解得,故,所以.
(2),所以,即,
所以,又,所以,
所以,
故向量与的夹角为.

展开更多......

收起↑