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1.6解三角形
1．在中,,则( )
A. B. C. D.
2．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,,,则( )
A. B. C.或 D.或
3．如图所示,为测量一条河流的宽度,选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点C,D,利用无人机在点C处测得河岸点A的俯角为,河岸点B的俯角为,无人机沿方向飞行m千米到达点D,测得河岸点A的俯角为,则( )
A.千米 B.千米
C.千米 D.千米
4．如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为( )
A. B. C. D.
5．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则( )
A. B. C. D.
6．已知的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,,则的值为( )
A. B. C. D.
7．在中,角对应的边分别为,,则此三角形有( )
A.无解 B.1个解 C.2个解 D.1或2个解
8．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则( )
A. B. C. D.
9．在中,内角的对边分别为.若,则( )
A. B. C. D.
10．在中,,则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
11．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则角( )
A. B. C. D.或
12．在边长为2的正三角形的边、上分别取M、N两点,沿线段折叠三角形,使顶点A正好落在边上,则的长度的最小值为( )
A. B. C. D.2
13．在中,角的对边分别为,符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )
A. B.
C. D.
14．中,角A为锐角,已知角C的对边,,则下列a值能使存在且只有一个的是( )
A. B. C. D.
15．记的内角的对边分别为,已知,若有且只有一个,则b的值可以是( )
A.1 B. C. D.
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若有唯一解，则a的值可以是( )
A.1 B. C. D.
17．已知的三边长分别为1,4,,则最大的内角为( )
A. B. C. D.
18．在中,角所对的边为.若,,则外接圆的面积为____________.
19．在中,已知,点E在线段上,且满足,则的长度为__________.
20．在中,已知,则__________.
21．在中,已知三边之比为,则该三角形的最小角的余弦值为______________.
22．在凸四边形中，已知，，，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
23．在四边形中，，，对角线与交于点E，E是的中点，且.
(1)若，求；
(2)若，求的长.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以,
又因为,所以,所以.
2．答案：A
解析：在中,由正弦定理可得,
又因为,可得,即,所以.
故选：A.
3．答案：D
解析：根据题意可知,
在中,利用正弦定理可得,所以；
又易知,
在中,利用正弦定理可得,所以；
又,因此可得,
因此.
故选：D.
4．答案：C
解析：
，
故隧道的长度.
5．答案：D
解析：因为,
所以,
即,
依题意,与不共线,
则,可得,
所以.
6．答案：B
解析：由正弦定理,
由边化角得.
7．答案：C
解析：由正弦定理得,,即,
因为,所以,
所以,即,
所以角C有2解（锐角或钝角）,
又,所以钝角解也符合构成三角形的条件,
所以此三角形有2解.
8．答案：C
解析：由余弦定理得.
因为,所以.
9．答案：B
解析：因为,
所以,,
由正弦定理,
可得,
又因为,
所以.
10．答案：D
解析：设外接圆的半径为,则,则外接圆的面积为.
11．答案：A
解析：由正弦定理得:,
又因为且,所以.
12．答案：C
解析：显然A,P两点关于折线对称,连接,图（2）中,可得,则有,
设,,再设,则有,
在中,,,又,
在中,由正弦定理知,即,,
,,当,即时,.
此时x取得最小值,则的最小值为.
13．答案：A
解析：对于A,根据三角形全等的判定方法,可知满足条件的三角形只有一解,故A正确;
对于B,因为,所以,又B为钝角,所以C不存在,
所以满足条件的三角形不存在,故B错误;
对于C,因为,所以三角形不存在,故C错误;
对于D,因为,所以,
因为且,所以B有两解且这两个解互补,故D错误.
故选:A
14．答案：BD
解析：如下图所示:
由题意可得,
若使存在且只有一个,则或,BD满足要求.
15．答案：AB
解析：对于A:由正弦定理,得,所以,当时,,
又,所以,或,当时,,不合题意,
此时有且只有一个,A正确;
对于B:当时,,又,所以,或,
当时,,不合题意,此时有且只有一个,B正确;
对于C:当时,,又,所以,或,
此时有两个,C错误;
对于D:当,,此时不存在,D错误.
16．答案：BD
解析：因为，，因为有唯一解，所以或，即，
故选：BD
17．答案：B
解析：设1,4,所对角分别为A,B,C,由三角形中大边对大角,则最大角为C,
则,,则该三角形最大内角C为.
故选：B.
18．答案：
解析：设外接圆的半径为R,
由正弦定理可得,故,
则外接圆的面积.
19．答案：7
解析：如图所示:
由余弦定理可得
,
所以,又因为,
所以,在中,,
在中,由余弦定理可得:,
所以.
20．答案：
解析：在中,,.
又,由正弦定理,得
.
21．答案：/0.875
解析：
因为三角形三边之比为,
所以可设三边长分别为,
根据三角形大边对大角、小边对小角的性质可知,
对应的角A即为该三角形的最小角,
.
22．答案：(1)
(2).
解析：(1)
过A，D分别作直线的垂线，垂足分别为E，F，易知，
因为，所以，，所以，
在直角中，.
(2)在直角中，由勾股定理知.
在直角中，因为，，
所以，.
于是有，
在中，由余弦定理可知.
所以的值为.
23．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，，所以，
因为，所以，
设，所以，
即，解得，
所以，
在中，由余弦定理可得：.
(2)在中，由余弦定理可得，
所以，化简得，
解得，
因为E是的中点，所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以，
因为，所以，
由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得：
，
所以.

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