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1.7平面向量的应用举例
1．已知向量，满足，，则的最小值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2．已知四边形中,,,,则四边形一定是( )
A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形
3．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中,以力作用于冰球,使冰球从点移动到点,则力对冰球所做的功为( )
A. B. C.17 D.10
4．一条河的宽度为d,一船从A处出发到河的正对岸B处,船速的大小为||,水速的大小为||,则船行到B处时,行驶速度的大小为( )
A. B.
C. D.
5．2025年10月,某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江,以硬核技术惊艳亮相,彰显中国汽车品牌创新实力.如图,此段长江的两岸近似看作平行,宽度约为1000米.若汽车从阿A地出发,以的静水速度向对岸航行,水流速度为,要使航程最短,大约需要多长时间( )（单位:）
A. B. C.6 D.12
6．已知，，，，其中向量，是两个不共线向量，若的面积为6，则的面积为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
7．2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从A地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要( )时间（单位：min）
A. B. C.6 D.12
8．河水的流速为,一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸,则小船实际航行的速度大小为( )
A. B. C. D.
9．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为4,圆O的圆心为该正六边形的中心,圆O的半径为2,为圆O的直径,点P在正六边形的边上运动,则的取值范围为______.
10．已知点P为所在平面内一点，，，若，则的取值范围为__________.
11．某人在静水中游泳,速度为千米/小时,现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳.
（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸,则他实际沿什么方向前进 实际前进的速度大小为多少
（2）他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进 实际前进的速度大小为多少
12．我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设是直线l的一个方向向量（参见习题9.4第10题），那么就是直线l的一个法向量（图（1））.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.
已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量n上的投影向量为（为向量n与的夹角），其模就是点P到直线l的距离d，即（图（2））.据此，请解决下面的问题：已知点，，，求点A到直线BC的距离.
13．在平面直角坐标系中，已知点，，O为坐标原点，的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标.
14．在中，BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量的方法证明：.
15．已知向量，，满足条件，且，求证：是正三角形.
16．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.
（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
17．如图，夹角为的两根绳子提起一个重物，每根绳子用力4N，求物体的重力.
18．如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧.已知每条钢丝绳的拉力都是，每条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F.
（1）如果，求F的大小；
（2）试研究：当时，随着的增大，F的变化趋势.
19．用向量的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于一组邻边平方和的两倍.
20．如图，一个三角形角铁支架ABC安装在墙壁上，，在B处挂一个的物体，求角铁AB与BC所受力的大小（取）.
21．用向量的方法证明：在中，.
22．如图，一根细绳穿过两个定滑轮P，，且两端分别挂有质量为，的重物.现在两个滑轮之间的绳上挂一个质量为的重物，恰巧使得系统处于平衡状态，问：此时绳子形成的角多大？
23．飞机从甲地按南偏东的方向飞行到达乙地，再从乙地按北偏西的方向飞行到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地离甲地多远？
参考答案
1．答案：B
解析：由向量不等式可得：，
所以当与方向相反时，最小值为1.
2．答案：D
解析：由,则且,即四边形是平行四边形,
又,,则为等边三角形,
所以四边形是菱形.
故选：D.
3．答案：C
解析：因为,,所以,又,
故力对冰球所做的功为.
故选：C.
4．答案：D
解析：设v1→与v2→的合速度为v 。因为船可垂直到达对岸，所以v ⊥v2→。根据向量垂直的性质与速度的合成，合速度的大小满足|v |=|v1→|2+|v2→|2 √，故船行驶速度的大小为|v1→|2+|v2→|2 √。
5．答案：D
解析：设点B是长江对岸一点,与江岸垂直,
当汽车实际沿方向行驶时,航程最短.
设汽车的速度,水流的速度,实际速度.
.
则航行时间为.选D
6．答案：D
解析：由题意可知，
，所以，
设的中点分别为A，B，
则，
，所以，
设边上高为，边上高为，
因为，，所以，又，
所以，所以.
故选：D
7．答案：D
解析：设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，
当汽车实际沿方向行驶时，航程最短.
设汽车的速度，水流的速度，实际速度.
由图可知，
.
则航行时间为（min）.
8．答案：B
解析：设表示水流速度,表示实际速度（即静水速度）,表示与合速度,
则,,由题意可得.
故选:B.
9．答案：
解析：由题可知,,
故
;
由图可知,当点P位于正六边形的某个顶点时,取最大值4,
当点P为正六边形各边的中点时,取得最小值,即,
所以,,从而.
10．答案：
解析：由，所以点P为的外心，
因为，所以.
设，再以点P为原点，
分别以PB，PC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，，，，
所以，
又因为，所以，即.
又因为，所以点A在优弧BC上，
所以落在角的终边上，
由三角函数的定义有，，
即，，
所以，
又因为，所以，
，，
所以.
11．答案：（1）此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/小时
（2）此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游,实际前进的速度大小为千米/小时
解析：（1）如图,
设此人游泳的速度为,水流的速度为,
以为邻边作,则此人的实际速度为,
由勾股定理知,且在中,,即,
故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/小时.
（2）如图,设此人的实际速度为,水流速度为,则游速为,
在中,,则,
故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游,
实际前进的速度大小为千米/小时.
12．答案：
解析：由已知得，，
设BC在直线l上，且l的一个法向量为，
则，
不妨取，，此时，
到直线BC的距离.
13．答案：
解析：由题意可得，，，
由角平分线的性质可得.
，
点D的坐标为.
14．答案：证明见解析
解析：证明：如图所示，
设，，，
则.
，①
又a与b的夹角为，a与c的夹角与相等，
故①式可化为，
即，即.
15．答案：证明见解析
解析：证明：由题知，
设，的夹角为，
则，则，
，故，
同理，与，与的夹角均为，
又，
，
故是正三角形.
16．答案：（1）左侧，理由见解析
（2）当时，游船能到达处，需要航行
（3）
解析：如图，
（1）当时，游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
理由：当时，，
，
游船航行到北岸的位置在的左侧.
（2）若游船能到达处，则v与河岸垂直，
，
，
故需要航行.
故当时，游船能到达处，需要航行.
（3）当时，由（1）可知，.
，且两向量方向相反，
，
合速度，
实际航程为.
17．答案：
解析：易知物体重力与两绳子合力大小相等，方向相反，
故物体的重力，
物体的重力为.
18．答案：（1）
（2）逐渐变小
解析：（1）.
（2），当时，
随着的增大，F逐渐变小.
19．答案：证明见解析
解析：证明：如图，在中，，
设，则，
，，
，
，
，
即.
故平行四边形两条对角线的平方和等于一组邻边平方和的两倍.
20．答案：角铁AB与BC所受的力分别为和
解析：如图所示进行受力分析，，
，
，
，；.
；
，
所以角铁AB与BC所受力的大小，.
21．答案：证明见解析
解析：证明：，
，
，
在中，.
22．答案：
解析：如图所示，
当处于平衡状态时，，
又因为，，，
所以，
所以为直角三角形，且，
所以此时绳子形成的角为.
23．答案：丙地在甲地的南偏西方向，距离甲地处
解析：如图，.
由题意知，，，
故，为等边三角形.
，，故.
丙地在甲地的南偏西方向，距离甲地处.

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