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第六章平行四边形单元培优2026学年北师大版八年级数学下册
一．选择题（共4小题）
1．在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
2．如图，设M是 ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　）
A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定
3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）
A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，ABBC＝2，则下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OEAD；④BD＝2．正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共4小题）
5．如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 　 　 米．
6．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC与BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN＝100m，那么A，B两点的距离是　 　 m．
7．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　 　 ．
8．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
三．解答题（共14小题）
9．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
11．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
12．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB＝3，BC＝6，BF，求AB的长．
13．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．
14．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 　 　 ；
（2）请证明你的结论．
15．已知，如图，在 ABCD中，延长AB到点E，延长CD到点F，使得BE＝DF，连接EF，分别交BC，AD于点M，N，连接AM，CN．
（1）求证：△BEM≌△DFN；
（2）求证：四边形AMCN是平行四边形．
16．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
17．如图：△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
（1）求证：四边形PEDC为平行四边形；
（2）若△APB中，AB＝3，，PB＝2，求四边形PEDC的面积．
18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为ts，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形AECF为平行四边形？
19．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
21．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，BC＝32，AD∥BC，AB＝16，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段PD＝ 　 　 ；CQ＝ 　 　 ；QE＝ 　 　 （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
22．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）
（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值
（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．
第六章平行四边形单元培优2026学年北师大版八年级数学下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，
故选：D．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
2．如图，设M是 ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　）
A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝DC，而△CMB的面积为SCD 高，△ADM的面积为S1MA 高，△CBM的面积为S2BM 高，这样得到S1+S2MA 高BM 高（MA+BM） 高AB 高＝S，由此则可以推出S，S1，S2的大小关系．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵△CMB的面积为SDC 高，△ADM的面积为S1MA 高，△CBM的面积为S2BM 高，
而它们的高都是等于平行四边形的高，
∴S1+S2AD 高BM 高（MA+BM） 高AB 高CD 高＝S，
则S，S1，S2的大小关系是S＝S1+S2．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式，分别表示出图形面积是解题关键．
3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）
A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）
【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，再根据点的坐标求出点C的坐标即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），
∴DC∥AB，DC＝AB＝5，
∴点C的横坐标＝5+2＝7，纵坐标＝点D的纵坐标＝3，
即点C的坐标是（7，3），
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，ABBC＝2，则下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OEAD；④BD＝2．正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；④先根据三角形中位线定理得OE＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；②因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；③根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可作判断；
【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正确；
④∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OEAB＝1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
∴OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴OD，
∴BD＝2OD＝2，故④正确；
②由④知：∠BAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC，故②正确；
③由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OEAB，
∵ABBC，
∴OEBCAD，故③正确；
本题正确的有：①②③④，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含30°的直角三角形性质、三角形的中位线性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
二．填空题（共4小题）
5．如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 　120　 米．
【分析】根据题意多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，求出即可．
【解答】解：由题意得：360°÷36°＝10，
则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10＝120（米）．
故答案为：120．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解本题的关键．
6．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC与BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN＝100m，那么A，B两点的距离是　200　 m．
【分析】根据题意可知，继而得到本题答案．
【解答】解：∵AC和BC的中点M、N，MN＝100m，
∴MN是△ABC的中位线，
∴100m，
则AB＝200m．
∴A，B两点的距离：AB＝200m，
故答案为：200．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，解题时是根据三角形的中位线定理进行分析计算．
7．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ．
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MNDE．
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　2或6　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
三．解答题（共14小题）
9．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；
（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF＝∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH＝AD，FH＝AF，再根据等边对等角可得∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，然后求出∠DHF＝∠BAC，等量代换即可得到∠DHF＝∠DEF．
【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，
∴DH＝AD，FH＝AF，
∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH＝∠BAC，
∠DHA+∠FHA＝∠DHF，
∴∠DHF＝∠BAC，
∴∠DHF＝∠DEF．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
11．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；
（2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键．
12．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB＝3，BC＝6，BF，求AB的长．
【分析】（1）由E是AC的中点知AE＝CE，由AB∥CD知∠AFE＝∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF＝CD，结合AB∥CD即可得证；
（2）证△GBF∽△GCD得，据此求得CD，由AF＝CD及AB＝AF+BF可得答案．
【解答】解：（1）∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又AB∥CD，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴，即，
解得：CD，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AB＝AF+BF6．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似三角形及平行四边形的判定与性质．
13．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝4，则OAAC＝2，再由勾股定理求出OB，进而解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC，
∴OAAC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB，
∴BD＝2OB＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．
14．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 　平行四边形　 ；
（2）请证明你的结论．
【分析】（1）根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形；
（2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG＝EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状；
【解答】解：（1）平行四边形．
（2）证明：连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EFAC，
同理HG∥AC，HGAC，
综上可得：EF∥HG，EF＝HG，
故四边形EFGH是平行四边形．
【点评】此题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，本题还可证明EF＝HG，EH＝FG，然后得出四边形EFGH是平行四边形，难度一般．
15．已知，如图，在 ABCD中，延长AB到点E，延长CD到点F，使得BE＝DF，连接EF，分别交BC，AD于点M，N，连接AM，CN．
（1）求证：△BEM≌△DFN；
（2）求证：四边形AMCN是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAD＝∠ADF，∠EBC＝∠BCD，∠E＝∠F，求出∠ADF＝∠EBC，根据全等三角形的判定得出即可；
（2）根据全等求出DN＝BM，求出AN＝CM，根据平行四边形的判定得出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADF，∠EBC＝∠BCD，∠E＝∠F，
∴∠ADF＝∠EBC，
在△DFN和△BEM中
∴△DFN≌△BEM（ASA）；
（2）四边形ANCM是平行四边形，
理由是：∵由（1）知△DFN≌△BEM，
∴DN＝BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴AD﹣DN＝BC﹣BM，
∴AN＝CM，AN∥CM，
∴四边形ANCM是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
16．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG＝AC＝4，GF＝CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：∵AD、AE分别是其角平分线和中线，
∴∠GAF＝∠CAF，BD＝DC，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC＝90°，
在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝6，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EFBG＝1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF＝CF是关键．
17．如图：△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
（1）求证：四边形PEDC为平行四边形；
（2）若△APB中，AB＝3，，PB＝2，求四边形PEDC的面积．
【分析】（1）证明DE＝PC，PE＝CD即可；
（2）过C作CH垂直EP的延长线于H，依据ED＝CP，EP＝DC，即可得出四边形PCDE是平行四边形，由勾股定理的逆命定理证得∠APB＝90°，求出∠EPC＝150°，再由30°的直角三角形性质求出CH的长，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵△APE，△ABD是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，
∴∠EAD＝∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴DE＝BP，
∵PC＝PB，
∴DE＝PC，
同理PE＝CD，
∴四边形PEDC是平行四边形．
（2）解：如图所示，过C作CH垂直EP的延长线于H，
∵AB＝3，，PB＝2，
∴PA2+PB2＝AB2，
∴∠APB＝90°
又∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，而∠PHC＝90°
∴，
又∵，
∴．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，解决问题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会作辅助线构造平行四边形的高线解决问题．
18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为ts，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形AECF为平行四边形？
【分析】若是平行四边形，所以BD＝12cm，则B0＝DO＝6cm，故有6﹣1t＝2t，即可求得t值．
【解答】解：若四边形AECF为平行四边形，
∴AO＝OC，EO＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝OD＝6cm，
∴EO＝6﹣t，OF＝2t，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形．
【点评】考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出方程解答．
19．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：
①当点F在C的左侧时，
根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，
∵AG∥BC，
当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，
∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得t＝6，
综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CEBC＝8，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
3t﹣8＝6﹣t，
解得：t＝3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
8﹣3t＝6﹣t，
解得：t＝1，
∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
21．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，BC＝32，AD∥BC，AB＝16，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段PD＝ 　12﹣2t ；CQ＝ 　4t ；QE＝ 　16﹣4t或4t﹣16　 （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）由题意分别列出代数式即可；
（2）由AD∥BC，可知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝EQ，再分两种情况讨论，①当Q运动到E和C之间，②当Q运动到E和B之间，分别列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵AD＝12，BC＝32，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD＝12﹣AP，BE＝CEBC＝16，
∴QE＝16﹣CQ或QE＝CQ﹣16，
∵点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，
∴AP＝2t，
∴PD＝12﹣2t；
∵点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，
∴CQ＝4t，
若点Q与点E重合，则4t＝16，
解得：t＝4；
若点P与点D重合，则2t＝12，
解得：t＝6，
当0＜t＜4时，则QE＝16﹣4t；
当4＜t＜6时，则QE＝4t﹣16，
故答案为：12﹣2t，4t，16﹣4t或4t﹣16；
（2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD∥QE，
∴当PD＝QE时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
当0＜t＜4，且PD＝QE时，则12﹣2t＝16﹣4t，
解得：t＝2；
当4＜t＜6，且PD＝QE时，则12﹣2t＝4t﹣16，
解得：t；
综上所述，当t＝2或t时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用、列代数式、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
22．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）
（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值
（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．
【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP＝CQ＝t，则BQ即可用t表示；
（2）由题意知AP∥BQ，根据AP＝BQ，列出方程即可得解；
（3）方法一：如图，先求出OA和OE的长，若O在线段AP的垂直平分线上，则AE，在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，列方程可得t的值．
方法二：如图，连接AQ，CP，证明四边形AQCP为平行四边形，由面积法求出AQ，由勾股定理求出BQ的长，则可得出CQ的长，则可求出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠AOP＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝t，
∵BC＝5，
∴BQ＝5﹣t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝5﹣t，
t，
∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）t，
方法一：如图，
Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，
∴AC4，
∴AO＝COAC＝2，
∵，
∴AB AC＝BC EF，
∴3×4＝5×EF，
∴，
∴，
∵OE是AP的垂直平分线，
∴AEAPt，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，
∴，
∴t或（舍），
∴当t秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．
方法二：如图，连接AQ，CP，
∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∵O在线段AP的垂直平分线上，
∴OA＝OP，
∴AC＝PQ，
∴四边形AQCP为矩形，
∴∠AQC＝90°，
同方法一求出EF＝AQ，
∴BQ，
∴QC＝BC﹣BQ＝5，
∴，
∴当t秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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