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高三年级 5 月高考大练兵
数 学
试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量a=(3,-1),b=(-2,k),且a⊥b,则k=
A.6 B.-6 C. D.
2.若集合A={2,a,a },B={2,4},.且B A，则a的值为
A.4 B.2或4 C.-2或4 D.±2或4
3.函数 的值域为
A. B. C. D.
4.已知等比数列{an}的公比为q，且 则q=
A.3 B.2 C.1 D.
5.某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近 5年的蔬菜种植面积x(单位：亩)依次为8，10，13，16，20，且这 5年的总利润为 142.5万元，由这 5年的数据求得年利润y(单位：万元)与x满足线性回归方程 则当蔬菜种植面积增加到 30亩时年利润的预测值为
A.60万元 B.65万元 C.70万元 D.75万元
6.已知偶函数f(x)满足当x>0时,f(x)=x+ sin(x-1),则f(x)的图象在x=-1处的切线方程为
A.2x+y+3=0 B.2x-y+1=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y+1=0
7.若球O 与球O 的体积之比为2a，表面积之比为a，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为
A.3π C.π D.π/4
8.已知面积为4的正方形ABCD 的顶点都在双曲线E 上，点 P是E上与点A，B，C，D都不重合的动点.记PA，PB，PC，PD的斜率分别为k ,k ,k ,k ,若E的虚轴长的取值范围为(2,4),则 的取值范围是
A.(2,5) B.(4,25) C.(25,289) D.(5,17)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数 则
A.|z|=1
B. z在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D.
10.若 则a的值可能是
A. B. C. D.
11.已知圆 与曲线 则
A. C ,C 恒有公共点
B.当a∈(0,1)时,C ,C 恰有2个公共点
C.当 时,C ,C 在y∈(0,+∞)时的公共点有3个
D.当a=3时，直线x=t与C 有3个公共点的充要条件是直线x=t与圆C 相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
展开式中的第5项的系数为 .
13.已知抛物线 的焦点为F，若点P为C在第一象限内的一点，且|PF|=6，则直线PF的斜率为 .
14.已知数列{an}中, an为正整数,且 则当a 的值最大时，满足 的k的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 且
(1)求 sin B;
(2)若点 D为BC的中点,且b=2,求AD.
16.(15分)已知函数
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x>0时, 求a的取值范围.
17.(15分)如图,四棱柱 的所有棱长都为 三棱锥 是正三棱锥.
(1)证明:平面BC D⊥平面ACC A ;
(2)求直线 CA 与平面ABC 所成角的正弦值.
18.(17分)某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为 ，失败的概率为 ，发射结果相互独立，计划发射多次.
(1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次.记发射的次数为X，求X的分布列与期望；
(2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为 (即修复后，系统恢复到正常发射状态)，修复失败的概率为 .考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始.若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复，则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止.
(i)求至少发射3次的概率；
(ii)定义 Pn为第n次发射成功的概率，是否存在实数t使得数列 为等比数列 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
19.(17分)已知点A ,A 分别是椭圆 的左、右顶点， 且C的离心率为
(1)求 C的方程;
(2)若点P是C上与A ,A 不重合的点,直线A P,A P与直线x=4分别交于点G,H,求|GH|的最小值；
的直线与C交于M，N两点，证明：△A
高三年级 5 月高考大练兵
数学参考答案
1.【答案】B
【解析】因为a⊥b,所以a·b=3x(-2)-1·k=0,所以h=-6.故选B.
2.【答案】C
【解析】当a=4时A={2,4,16},满足B A;当 4时,因为a≠2,所以a=-2,此时A={-2,2,4},满足B A.故选 C.
3.【答案】D
【解析】当sinx∈[0,1]时 当：sinx∈[-1,0)时 所以f(x)的值域为 故选 D.
4.【答案】A
【解析】由 得 因为a ≠0,q≠0,所以 故选 A.
5.【答案】C
【解析】由已知得 因为点(x,y)在回归直线上,所以28.5=2.5× 所以当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为2.5×30-5=70万元.故选C.
6.【答案】D
【解析】当x>0时f(x)=x+sin(x-1),f'(x)=1+cos(x-1),因为f(x)为偶函数,所以f(-x) =f(x),当x≠0时两边求导得f'(-x) =-f'(x) ,所以 f(-1)=f(1)=1,f'(-1)=-f'(1)=-2,，所以f(x)的图象在x=-1处的切线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.故选D
7.【答案】B
【解析】设球O 与球O 的半径分别为r ，r ，则 所以 因为棱长为1的正方体的所有顶点都在球O 的表面上，所以 所以球O 的表面积为 故选 B.
8.【答案】B
【解析】因为面积为4的正方形 ABCD 的顶点都在双曲线E上,由对称性,不妨令A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1) ,则 即 由已知得2b∈(2,4),只则 设P(m,n) ,则 相减得 所以 又 所以 所以 故选 B.
9.【答案】BC(每选对1个得3分)
【解析】对于A 故 A 错误；对于B. 在复平面内对应的点为(-2，1)，位于第二象限，故B 正确；对于 故 C 正确；对于r ,故D 错误.故选 BC.
10.【答案】ACD(每选对1个得2分)
【解析】因为 所以2log .40. 1.由 故 A正确；由 故 B 错误；由 故 C 正确；由 故 D 正确.故选 ACD.
11.【答案】ABD(每选对1个得2分)
【解析】点(0,0)是圆 与曲线 的公共点，故A正确；对于B，当γ≠0时，把 代入 得 因为y≠0，所以 ，对于满足该方程的每一个y，代入： 求得的x只有1个.设. ,则0不是f(y)的零点, 当012.【答案】240
【解析】 展开式中的第5项的系数为
13.【答案】2
【解析】由已知得F(2,0),设P(m,n)(m>0,n>0),则|PF|=m+2=6,m=4,n=4 所以直线PF的斜率为 2
14.【答案】66
【解析】由题意得a ，a ，a ，a ，a 的可能取值如图所示.由图可知a 最大为11，由 则a =6或16,因为 16>12,所以( 所以 当k=2m(m∈N°)时, 当k=2m-1(m∈N°)时： 满足条件的k不存在，所以k=66.
15.解:(1)由余弦定理得 (1分)
整理得a=c,(3分)
所以A=C,(4分)
因为 所以 (5分)
所以 (6分)
(2)由(1)知A=C,所以 (7分)
因为b=2,所以c=a=3,(9分)
在△ACD中由余弦定理得
(10分)
(11分)
(13分)
16.解:(1)因为 所以 (1分)
设 则 (2分)
所以当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,,g'(x)>0,g(x)单调递增，(3分)
所以g(x)≥g(0)=2>0, 即 (5分)
所以f(x)在R上单调递增.(6分)
(2)由 得
即f(lnx)因为f(x)在R上单调递增，
所以lnx< ax,即 (9分)
设 则 (10分)
所以当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,,h'(x)<0,h(x)单调递减，(11分)
所以 (13分)
所以 即a的取值范围是 (15分)
17.(1)证明:由已知可知四边形ABCD 是菱形,所以AC⊥BD,(1分)
设AC∩BD=E,则E为AC的中点,连接C E,
因为三棱锥 C -ABC 是正三棱锥， ,(2分)
所以C E⊥AC,(3分)
因为BD∩CE=E,所以AC⊥平面BC D,(4分)
因为AC 平面ACC A ,所以平面BC D⊥平面ACC A (6分)
(2)解：由已知可得三棱锥 C -ABC 是所有棱长均为2 的正三棱锥，
过点 C 作CO⊥BD于点 O,则OC ⊥平面ABCD,」 且 (7分)
以O为原点，在平面ABC内过点O与OB垂直的直线为x轴，直线OB，OC 分别为y，x轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,(8分)
则A( ,-1,0) ,B(0,2,0),C(- ,-1,0),C (0,0,2 ),(9分)
所以 (10分)
所以 (11分)
设平面ABC，的法向量n=(x,y,z) ,则 則 (12分)
取 则 得n=(2 ,2, ),(13分)
设直线 CA 与平面ABC 所成的角为θ，
则
所以直线 CA 与平面ABC 所成角的正弦值为 (15分)
18.解:(1)由题知,X的所有可能取值分别为1,2,3,4,(1分)
则 (2分)
(3分)
所以X的分布列为
x 1 2 3 4
P
(5分)
(2)(i)记第i次发射成功为事件A ，第i次发射失败后修复成功为事件B ，
则 (6分)
记至少发射3次为事件C，则 (7分)
所以 (8分)
(10分)
(ii)第n+2次发射成功有2种情形：第n+1次、第n+2次发射成功，或第n次发射成功，第n+1次发射失败且发射失败后修复成功，第n+2次发射成功，(11分)
所以 ,(13分)
设 则 ,(14分)
所以 释彳 15分)
因为 所以 时 是等比数列，(16分)
所以 (17分)
19.(1)解:因为| 所以a=2,(1分)
因为 C的离心率为 ，所以 解得 ,(3分)
所以C 的方程为 (4分)
(2)解:设直线AP的方程为y=k(x+2),令x=4,得G(4,6k),(5分)
设点 P(xp,yp),其中:xp≠±2,!则 (6分)
则
所以 (7分)
所以直线A P 的方程为
所以 (8分)
(9分)
当且仅当 时等号成立.
故|GH|的最小值是6.(10分)
(3)证明:设M(x ,y ),N(x ,y ),直线MN的方程为
联立 导
所以 且 ,(11分)
(12分)
设△A，MN的外接圆方程为
把点A(-2，0)代入圆的方程得 F=2D-4,(13分)
因为点M，N在圆上，所以
①+②得
其中
所以
即 (14分)
①-②得(
易得 且
上式两边同时除以 得
整理得 即：m=4D+2E,(15分)
代入 得
所以 或 (16分)
当 时,m=4D+2E=1,不满足题意,
所以 即-4D+2E+1=0,
即点 在定直线8x-4y+1=0上,
所以△A MN的外心恒在定直线8x-4y+1=0上.(17分)

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