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浙江七校联盟2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二数学
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．设为自然底数，，若有4个零点，则正数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球，现将6个球分别放到编号为①，②，③，④的四个箱子中，每个箱子至少放1个球，且编号为3，4的小球必须在同一个箱子中，则不同的放法有（ ）
A．168种 B．200种 C．96种 D．240种
7．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（ ）
A．15 B．9 C．8 D．7
二、多选题
9．若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则独立
D．
10．已知等差数列的前项和为，是等比数列，且满足：，，则下列结论正确的是（ ）
A．等差数列的通项公式为
B．等比数列的公比
C．若，则数列的前项和
D．若，则数列的前10项和
11．三支不同的折线交椭圆于点，为椭圆的右焦点，记的面积为，下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．
C．若，则
D．的最大值为
三、填空题
12．展开式中的常数项为___________．
13．已知在上递减，的取值范围为______．
14．在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立．第一门大炮射击的命中率为0.4．第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6．根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6．则弹药库被摧毁的概率为______．
四、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的动点，且．
(1)求证：；
(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值．
16．某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券．已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖．
(1)求该顾客获得优惠券金额的分布列及数学期望；
(2)若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率．
17．已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若存在极小值0，求实数的值．
18．在平面直角坐标系中，双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．当轴时，．
(1)求的值；
(2)设中点为，的外心为．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）若均在第二象限，求的取值范围．
19．已知数列满足．
(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，
（i）记，证明：；
（ii）若恒成立，求的取值范围．
（为自然底数，）
参考答案
1．B
【详解】因为，
所以，解得.
2．A
【详解】因为，所以
3．D
【详解】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离为，所以弦长为，
所以，解得，所以圆的半径为.
4．B
【详解】设事件表示“选化学”，事件表示“选生物”，
题目给出，，，
则，
已知选了化学，所求为条件概率：.
5．C
【详解】因为，所以，，故函数的定义域为，
因为，
所以，所以函数为偶函数，
令，则，
若，则对应，若，则对应，
所以有个零点等价于在上有两个不同解，
在上有两个不同解，
设，
故在上有2个不同的解，
因为，
由，可得，又，解得，
故在上单调递增；
由，可得，又，解得，
故在上单调递减；
因为，所以，，
，
要使在上有2个不同的解，
则正数的取值范围为.
6．D
【详解】先将6个小球分成四组，因为编号为3，4的小球必须在同一组，因此可以有1，1，2，2或1，1，1，3两种分组方式，
若分为1，1，2，2，须在剩余的4个小球中任选两个作为一组，共有种选法；
若分为1，1，1，3，须在剩余的4个小球中选出一个小球与3号和4号分在一组，共有种选法；
再将分好的四组小球分配到四个箱子中去，共有种排法；
因此不同的放法有.
7．A
【详解】
抛物线：的焦点是，准线方程为，
根据抛物线的定义，得（为到准线的距离），
圆：的圆心为，半径，
因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号），
所以．
因为（ 与重合时取等号），
所以．
8．B
【详解】正项等比数列中，，，.
记等比数列的公比为，，，，，.
是递减数列，.
已知，，则，，.
又因为，则，，即.
结合前面得到的，可知，解得.
9．ABD
【详解】选项A，，A选项正确.
选项B，，B选项正确.
选项C，，，不能得出，选项C错误.
选项D，，D选项正确.
10．ACD
【详解】等差数列满足，所以，又，所以，即，
联立方程，解得，所以，所以A正确；
，所以，因为是等比数列，所以数列的公比，所以B错误；
，所以数列的前项和，所以C正确；
因为等比数列的公比，，所以，，所以
数列的前项和，所以，
所以，即
化简整理得，所以D正确.
11．AD
【详解】椭圆中，
所以焦距
故右焦点为
设某一条折线对应的参数为，
并设右支射线与轴正方向的夹角为 ，
则
记该折线与椭圆的两个交点分别为，其中在左侧射线，在右侧射线.
对点而言，设
由于在以为端点、与轴夹角为的射线上，所以
又因为椭圆上任一点 到右焦点的距离满足
故
整理得
所以
同理，对点，设
则
因此
整理得
故
选项A，由上式
它与无关，所以为定值.故A正确.
选项B，点的坐标分别可写成
于是 化简得
可见的斜率随 改变而改变，所以不同的折线对应的弦不一定互相平行.
故 B 错误.
选项D，由
故
因此
化简：
又因为
所以
代入可得
求导：
故当，即时，取得最大值.
此时 所以D正确.
选项C，由上式
下面举反例,
取
则
于是
而
故
但是
显然 所以 C 错误.
12．15
【详解】二项式展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中的常数项为.
故答案为：15
13．
【详解】由可得，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立；
即在上恒成立；
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，即；
所以即可，因此的取值范围为.
14．
【详解】设三门大炮命中目标的概率分别为，
则未命中的概率分别为，
恰好命中1发的概率，
，
此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为，
恰好命中2发的概率，
，
此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为，
三门全部命中的概率，
此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为，
所以弹药库被摧毁的概率为，
即.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，
又∵，∴；
（2）由，
当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.
又∵，
∴当时，取得最大值，此时三棱锥的体积取得最大值，
故，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，可得，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
16．(1)的分布列为
(2)
【详解】（1）设随机变量表示该顾客获得的优惠券金额，则，总的抽法数为，
当抽到2个红球时，，，
当抽到1个红球1个白球时，，，
当抽到0个红球，即2个白球时，，，
所以的分布列为
数学期望为
.
（2）设事件表示“1 、位顾客获得元优惠券”，则，
因为位顾客抽奖结果相互独立，
所以“获得元优惠券的人数”服从参数为的二项分布.
设其中获得元优惠券的人数为，则所求概率为，
其中，，
所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）当时，
又
所以曲线在点处的切线方程为
化简得
（2）
设函数在处取得极小值，则
由得
从而代入，得
即
由于，故
于是两边取指数，得所以
而故
下面验证此时确有极小值.
令
设方程的解为，易知函数在上单调递增，
所以方程有且仅有一个解，
又由可得
于是
设，则
当 且 时，，所以在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以处为极小值点，极小值为.
综上，
18．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为双曲线可写成
所以故右焦点为
当轴时，过焦点的直线为直线
代入双曲线方程得
所以两交点的纵坐标分别为 ，从而
解得
（2）由第（1）问知故双曲线为
此时右焦点为
设直线的斜率为 ，则
其中，把直线方程代入双曲线方程：
化简得
设两交点的横坐标分别为 ，
则由韦达定理，
于是中点的横坐标为
又因为在直线上，所以
因此
下面求外心.
设过三点的圆的圆心为，
则该圆方程可写为
将直线代入上式，得到该圆与直线的交点对应的方程
而该方程与
有相同的两个根 ，故二者对应系数成比例,
比较系数可得
于是
（i）由上式，
由条件得
因此所以直线 的斜率为.
（ii）由知，必有
再由且 ，可得所以
再看点在第二象限的条件，
由知在时，要使，必须有
于是
令则
此时
设
则所以在上单调递减，
当时，
当时，故
所以所求取值范围为.
19．(1)证明见解析，
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）由，则，
则，故，
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
即 ，故；
（2），
（i）由，
则 ；
（ii），
取对数有，
令，
则，
由，则、单调递减，故单调递增，
由 ， ，
故存在，使得当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
令，
，
则在上单调递减，故 ，
故，则，

，
故，
故 ，
故当时，最小，故，
即的取值范围为.

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