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第一章 安培力与洛伦兹力
人教物理选择性必修第二册
第一章 安培力与洛伦兹力
1.3
带电粒子在匀强磁场中的运动
一 带电粒子在匀强磁场中的运动
要分析上述问题中带电粒子的运动，就需要分析粒子的受力情况。我们知道，带电粒子在磁场中运动要受到洛伦兹力的作用。由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向垂直的平面内，所以粒子在这个平面内运动。
洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。由于粒子速度的大小不变，粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小也不改变洛伦兹力对粒子起到了向心力的作用。所以，沿着与磁场垂直的方向射人磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动 (图1.3-1)。
垂直射入磁场的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，圆周的半径可能与哪些因素有关 周期可能与哪些因素有关
二 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
考虑到粒子所受的洛伦兹力提供了它做匀速圆周运动的向心力，列出方程来就不难得到几个物理量之间的关系式。然后就可以分别判断粒子的速度和磁场的强弱对圆半径的影响。
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径
匀速圆周运动
假设一个电荷量为 q 的粒子，在磁感应强度为 B 的匀强磁场中以速度 v 运动，那么带电粒子所受的洛伦兹力为
F＝qvB
洛伦兹力提供向心力
qvB＝
匀速圆周运动
由此可解得圆周运动的半径
r＝
从这个结果可以看出，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。
观察带电粒子的运动径迹
图1.3-2是洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射电子束。玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子末通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。
分别预测下列情况下带电粒子的运动径迹，然后用洛伦兹力演示仪进行检验。
1.不加磁场。
2.在玻璃泡中施加沿两线圈中心连线方向、由读者指向纸面的磁场。
3.保持出射电子的速度不变，改变磁感应强度
4.保持磁感应强度不变，改变出射电子速度的大小和方向。
洛伦兹力演示仪
励磁线圈
电子枪
玻璃泡
加速极电压
选择档
励磁电流
选择档
1、若不加磁场，电子做什么运动？
v
2、电子以垂直于磁场方向的速度射入，做什么运动？
v
电子的运动轨迹是什么样的？
F
B
加垂直于线圈平面向里磁场，电子初速度向左，与磁场方向垂直进入匀强磁场。
电子的运动轨迹为圆
3、仅改变磁感应强度的大小，电子运动有什么变化？
B
v
顺时针旋转励磁电流旋钮，励磁电流逐渐增大，匀强磁场磁感应强度逐渐增大。
电子运动轨迹的半径
逐渐减小
4、仅改变电子初速度的大小，电子运动有什么变化？
B
v
顺时针旋转加速电压旋钮，加速电压逐渐增大，电子进入磁场的速度增大。
电子运动轨迹的半径逐渐增大
5、当电子运动方向与磁场方向平行时，电子做什么运动？
B
调整电子枪的方向，将电子初速度的方向调整为与磁场方向平行。
电子的运动轨迹变成直线
想一想
若电子初速度方向与磁场成一定的夹角，电子的运动轨迹是什么样的呢
v
v1
v2
调整电子枪的方向，将电子初速度的方向调整为与磁场方向成一定角度。
电子的运动轨迹变成螺旋线
在前面的实验中，不加磁场时，电子束的径迹是一条直线 (图1.3-3)。加磁场后电子束的径迹是一个圆 (1.3-4)。
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期
当电子束出射速度不变，磁感应强度变大时，这个圆的半径变小；当磁感应强度不变，电子束出射速度变大时，这个圆的半径变大。
匀速圆周运动
我们还可以根据圆周运动的知识分析带电粒子做匀速圆周运动的周期。勾速圆周运动的周期 T＝，将 r＝ 路代人，可得
T ＝
由此可见，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。
例 题
一个质量为1.67×10－27 kg、电荷量为 1.6×10－19 C 的带电粒子，以5×105 m/s 的初速度沿与磁场垂直的方向射入磁感应强度为 0.2 T 的匀强磁场。
(1) 求粒子所受的重力和洛伦兹力的大小之比。
(2) 求粒子在磁场中运动的轨道半径。
(3) 求粒子做匀速圆周运动的周期。
分析 依据所给数据分别计算出带电粒子所受的重力和洛伦兹力，就可求出所受重力与洛伦兹力之比。带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力并做匀速圆周运动，由此可以求出粒子运动的轨道半径及周期。
(1) 求粒子所受的重力和洛伦兹力的大小之比。
解 粒子所受的重力
G＝mg＝1.67×10－27×9.8 N＝1.64×10－26 N
所受的洛伦兹力
F＝qvB＝1.6×10－19×5×105×0.2 N＝1.6×10－14 N
重力与洛伦兹力之比
＝＝1.03×10－12
可见，带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力远大于重力，重力作用的影响可以忽略。
(2) 求粒子在磁场中运动的轨道半径。
解 带电粒子所受的洛伦兹力为
F＝qvB
洛伦兹力提供向心力，故
qvB＝
由此得到粒子在磁场中运动的轨道半径
r＝＝m＝2.61×10－2 m
(3) 求粒子做匀速圆周运动的周期。
解 粒子做勾速圆周运动的周期
T＝＝ ＝×0.2 s ＝3.28×10－7 s
1.电子以 1.6×106 m/s 的速度沿着与磁场垂直的方向射入 B＝2.0×10－4 T 的匀强磁场中。求电子做匀速圆周运动的轨道半径和周期。
解：由 qvB＝m，
得 r＝＝4.6×10－2m，
T＝＝＝1.8×10－7 s.
2. 已知氚核的质量约为质子质量的 3 倍带正电荷，电荷量为一个元电荷；α 粒子即氨原子核，质量约为质子质量的4倍，带正电荷，电荷量为 e 的2倍。现在质子、氚核和 α 粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。求下列情况中它们运动的半径之比：
(1)它们的速度大小相等。
解：3个粒子速度大小相等时，由 r＝∝ 可知，
r质子∶r氚核∶r α粒子＝∶∶＝1∶3∶2.
(2) 它们由静止经过相同的加速电场加速后进入磁场。
解：由 qU＝mv2 和 r＝，得 r＝ ∝，
所以 r′质子∶r′氚核∶r′α粒子＝∶∶＝1∶∶.
3. 如图 1.3-5 所示，一个质量为 m、电荷量为 q 的带负电荷的粒子，不计重力，从 x 轴上的 P 点以速度 v 射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。已知 v 与 x 轴成60°角，OP＝a。
(1)求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小。
解：由几何关系知，带电粒子做圆周运动的半径 r＝a，
由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，有 qvB＝m，
得 B＝＝.
(2)求带电粒子穿过第一象限所用的时间。
解：由几何关系知，粒子在第一象限内磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为 θ＝π，
又 T＝＝，
则粒子穿过第一象限所用的时间 t＝T＝ .
结束
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