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2026年威海市高考模拟考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、为生号等填写在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．已知复数满足，则（ ）
A． B．2+i C．1-2i D．2-i
3．已知向量的夹角为，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．-6 B．-2 C．-1 D．1
5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为不优良的概率是（ ）
A．0.85 B．0.8 C．0.2 D．0.15
6．设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（ ）
A． B．1 B． D．3
7．已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（ ）
A． D．3
8．已知函数在上有两个零点，则（ ）
A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分、部分选对的得部分分。有选谁的得0分。
9．设函数则（ ）
A． B．若，则
C．若．则 D．若，则
10．已知随机变量，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（ ）
A．若，则平面
B．若，则
C．若平面，则的最小值为
D．若，则与平面所成的最大角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数为偶函数，则________．
13．已知抛物线的顶点为原点，为的准线上一点，为的焦点，线段交于点，若，则________．
14．已知等差数列的公差为，设，且，则________．
四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在四棱锥中，平面，，、、、点在棱上．
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）若二面角的大小为，求的值．
16．（15分）在中，角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值．
17．（15分）把4个形状大小相同的球等可能地放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，记放入1号，2号，3号，4号盒子中的球的个数分别为．
（1）求的概率；
（2）求且的概率；
（3）设函数记，求的分布列与数学期望．
18．（17分）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求；
（2）若，求的取值范围
（3）证明：，．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，的右顶点与上顶点之间的距离为6。
（1）求的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交于点和，且线段和的中点分别为．
（i）若直线的斜率大于1，且的面积为，求直线的方程；
（ii）若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
数学参考答案
一、选择题：每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B C D C A
二、选择题：每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 AD ABC ACD
三、填空题：每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
答案 1 12
四、解答题：
15．（13分）解：（1）因为，，
所以点E到平面ABCD的距离为，
所以．
（2）在平面ABP内过点B作直线AP的平行线l，
以B为原点，分别以BC，BA，1所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，
设，，则，
所以，
设平面BDE的一个法向是为，
则，
令，可得，，
此时，
又平面BCD的一个法向量为，
因为二面角的大小为，
所以，即，
整理得，解得或（舍），所以．
16．（15分）解：（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
可得，
因为，所以，
因为，所以．
（2）设，平面四边形ABCD的面积为S，
在中，由余弦定理得，
所以
，
因为，所以，
当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为14．
17．（15分）解：（1）由题意可知每个球放入每个盒子中的概率为，
当时，放入1号盒子中球的个数恰好为2，所以的概率为．
（2）当且时，放入1号盒子中球的个数恰好为1，
放入2号盒子中球的个数恰好为2，所以且的概率为
．
（3）由题意可知X所有可能取值的集合为，
，
，
，
，
因此X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则．
18．（17分）解：（1）由，可得，
由题意可知，则，解得，．
（2）令，，
则，
当时，，
令，解得，所以在上单调递减，
令，解得，所以在上单调递增，
所以，因此符合题意；
当时，，因此不符合题意．
综上可得，m的取值范围是．
（3）要证，
只需证，即证，
由（2）知，当时，，
所以，因此，
令，则，
可得，
两式相减得，
所以，因此，得证．
19．（17分）解：（1）由题意可知，
解得，，所以C的方程为．
（2）（ⅰ）设直线PQ的方程为，，
联立，可得，
可得点G的横坐标为，
所以，
同理可得，
因为的面积为，所以，即，
整理得，即，
解得，因为，
所以，代入可得G，H的横坐标均为，
所以直线GH的方程为．
（ⅱ）【法一】设，，，，
由，可得，
因为PQ的中点为G，所以，，
所以，
因为，所以，
所以，
（当PQ斜率不存在或中点为A时也满足上式）
同理可得，
所以点G，H在曲线上，
因为，所以，即，
可得①，
当直线GH的斜率不存在时，设GH的方程为，
联立，可得，
所以，，
代入①式可得，即，解得或，
若，则直线GH的方程为，所以直线GH过，不符合题意，舍去，
若，则直线GH的方程为；
当直线GH的斜率存在时，设GH的方程为，
联立，可得，
所以，，
由①式可得，
代入整理得，
即，可得或，
若，则直线GH的方程为，
所以直线GH过，不符合题意，舍去，
若，则直线GH的方程为，所以直线GH过．
综上可知，直线GH过定点．
取AK的中点，
在中，，
所以存在定点，使得为定值．
【法二】设，，，，
当直线PQ，MN斜率都存在时，由，可得，
因为PQ的中点为G，所以，，可得，
所以直线PQ的斜率为，
因为，所以，
即，
（当MN中点为A时也满足上式）
同理可得，
两式相减得，
当直线PQ或MN斜率不存在时，也满足上式，
又直线GH的方程为，
即，所以直线GH过定点．
取AK的中点，
在中，，
所以存在定点，使得为定值．

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