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2026年高考三轮最后阶段冲刺训练 06导数及其几何意义（学生版）
训练要点：①导数的概念；②导数的几何意义；③导数的计算.
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点，则等于（ ）
A．4 B． C． D．4x
2．（2026·辽宁辽阳·二模）函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）.
A． B． C． D．
5．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．4
6．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
8．（2026·浙江嘉兴·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三下·广东深圳·月考）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2026·辽宁沈阳·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线垂直
B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为
C．曲线的切线的倾斜角取值范围是
D．若过点可以作曲线的三条切线，则
12．（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．1
13．（2026·广东东莞·二模）若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处的切线交于点，设AP的斜率为的斜率为，则（ ）
A．时， B．
C． D．
14．（2026·河南·模拟预测）已知函数的定义域为I，若存在，使得曲线在点，处有相同的切线，则称具有性质P．下列结论正确的是（ ）
A．“在定义域上不单调”是“具有性质P”的充分条件
B．函数具有性质P
C．函数具有性质P
D．，函数都不具有性质P
三、填空题
15．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．
16．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
17．（2026·陕西榆林·模拟预测）若曲线在点处的切线的方程为，则___________．
18．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______.
19．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考三轮最后阶段冲刺训练 06导数及其几何意义（详解版）
训练要点：①导数的概念；②导数的几何意义；③导数的计算.
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点，则等于（ ）
A．4 B． C． D．4x
【答案】B
【分析】先代入函数求解，再求解，即可得出结果.
【详解】，
.
2．（2026·辽宁辽阳·二模）函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程.
【详解】因为函数，所以，则在处的切线斜率是，
函数过，
在处的切线方程是，即得.
3．（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的运算法则先求导，再根据导数的几何意义即可求解.
【详解】由题意得：，所以，
所以，
根据导数的几何意义得，
所以.
4．（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案.
【详解】由题可得瞬时速度,
当位移时，可得，解得：,所以,
所以,
则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为，
故选：A
5．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为.
6．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
【详解】因为，
所以在点处的切线的斜率为，
而该切线与直线垂直，
所以，解得．
7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数.
【详解】由题意，
设切点为，
所以切线方程为，
再将代入切线方程，
所以
，
当时，满足条件，
当时，，
解得，
最后将切点代入，求出切线斜率
当时，，所以切线为，
当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论，
当，，此时切线为，
当，，此时切线为，
所以切线条数为条.
8．（2026·浙江嘉兴·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解.
【详解】由，设切点，
则切线方程为：，
所以，
因为，所以，解得
显然，在单调递增，
所以，时，.
9．（24-25高三下·广东深圳·月考）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义结合斜率公式得到一元三次方程，再利用试根法得到一个根后对方程进行因式分解，得到其它的根，进而判断不可能是原方程的根，最后得到结论即可.
【详解】设切点为，而切线也过点，
由斜率公式得，
因为，所以，
由导数的几何意义得，
故成立，化简得，
得到，即，
显然是方程的根，则方程可化为，
解得或，而原方程最多有三个根，
则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是.
故选：B
10．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析的几何意义，根据圆上的点到直线的距离的最小值求得的最小值，结合导数的几何意义、两点间的距离公式及点到直线的距离公式，求得的最小值，即可得的最小值.
【详解】由题已知圆，圆心，半径．
则直线到圆心的距离，
故圆上点到直线的最小值为圆心到直线的距离减去半径，故，
点满足，即，
因此点在函数的图象上，
表达式表示点到点的距离的平方，
又因为点在直线上，所以表达式的最小值为函数上的点到直线的最小距离的平方.
设函数上与直线平行的切线与其相切于点，
由题易得，
令，即，解得.
即切点为，由点到直线的距离有，
故的最小值为．
二、多选题
11．（2026·辽宁沈阳·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线在处的切线与直线垂直
B．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为
C．曲线的切线的倾斜角取值范围是
D．若过点可以作曲线的三条切线，则
【答案】ABD
【分析】对于选项A，先求处的导数值即切线斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为的性质进行判断；对于选项B，先令等于直线的斜率，求出切点，再计算切点到直线的距离；对于选项C，先分析的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质确定倾斜角的范围；对于选项D，设切点坐标，写出切线方程，将点代入得到关于切点横坐标的方程，转化为该方程有三个不同实根的问题，通过研究对应函数的单调性与极值来确定的范围
【详解】对A，处切线斜率，直线的斜率为，两斜率乘积 ，故两直线垂直，A正确
对B，点到直线的最小距离，出现在曲线切线与平行时，即切线斜率等于，
令，得，整理为，函数在上单调递增，仅有解，对应切点为
切点到的距离为： ，即最小距离为 ，B正确
对C，设切线倾斜角为，则
令 ，求导得 ，时，单调递减；
时，单调递增，
所以在处取最小值，故
而 ，因此倾斜角范围不是，C错误
对于D：设过点的切线切点为，则，整理得，
若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点，
对函数，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减.
又当时，；当时，；时，；时，，
所以函数的图象大致如下：
则当时，函数与函数有三个交点，
此时过点可以作曲线的三条切线，D正确.
12．（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BCD
【分析】设公切线与两曲线相切于点，进而得切线方程，即得，设，利用导数研究的单调性和极值，进而作出的图像，利用数形结合即可求解.
【详解】设公切线与两曲线与分别相切于，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
由题意可得，，即，
设，则，
令得．当时，；
当时，在（0，e）单调递增，在单调递减，时，
的图象如图所示：
由题意可知函数的图象与直线有两个交点，因此，解得，
故选：BCD．
13．（2026·广东东莞·二模）若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处的切线交于点，设AP的斜率为的斜率为，则（ ）
A．时， B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，求出曲线过原点的切线方程即可判断；对于B，取即可判断；对于C，不妨取，则，再令，利用导数即可得到，进而可得即可判断；对于D，作差得，令，，再利用导数证明即可．
【详解】对于A，时，，
又过原点作曲线的切线，设切点为，
，则切线方程为，又过，
，解得，即过原点与曲线相切的直线方程为，
又直线与曲线相交于不同两点，，故A正确；
对于B，不妨取，
则曲线在处的切线方程分别为，
解得，此时，故B错误；
对于C，不妨取，则，
曲线在处的切线方程为，
设，则，
令，解得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，即（当且仅当时取等），
由题易知，，
又，所以单调递增，且，
，则，故C正确；
对于D，由题可知，，
，
不妨取，则，令，
则，令，
，
令，
时，，在单调递增，
，则，
在单调递增，则，
，即，故D正确．
14．（2026·河南·模拟预测）已知函数的定义域为I，若存在，使得曲线在点，处有相同的切线，则称具有性质P．下列结论正确的是（ ）
A．“在定义域上不单调”是“具有性质P”的充分条件
B．函数具有性质P
C．函数具有性质P
D．，函数都不具有性质P
【答案】BCD
【分析】利用导数来求切线斜率，利用点斜式来写函数在某点处的切线方程，再由不同的两点处切线相同，则斜率相等和截距相等，从而得到等式关系，再来分析解的情况，即可得到选项的判断.
【详解】对于A，设，求导得，
因为，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
任给满足的，
曲线在点和处的切线方程分别是，
，
而，所以两斜率相等的切线不重合，
所以“在定义域上不单调”不是“具有性质P”的充分条件，故A错误；
对于B，，当和时，均有，
又当和时，均有，
所以曲线在点与处的切线方程均为，
则具有性质P，故B正确；
对于C，，若具有性质P，则存在，
使得，即，
解得（，且），
曲线在点和处的切线方程分别是，，
由两切线重合可知①，
当（，且）时，①式即，
所以不妨取，即可，此时切线方程为，即具有性质P，故C正确；
对于D，，设的图象在点，处的切线重合，
则，
由前两个式子可得，
所以，即②，
同理③，
，得，
，得④，
由对数平均不等式可得，
同理，两式相乘，可得，
与④式矛盾，故不具有性质P，故D正确．
三、填空题
15．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解．
【详解】由，则，
所以曲线在点处的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为．
设直线与曲线相切的切点为，且，
则，解得．
16．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【详解】因为，所以，又，
所以切线方程为，即.
17．（2026·陕西榆林·模拟预测）若曲线在点处的切线的方程为，则___________．
【答案】2
【详解】由，得，所以，
又曲线在点处的切线的方程为，
所以，解得，又点在切线上，
所以，所以，所以．
18．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______.
【答案】4
【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到，即可求解.
【详解】设直线与函数的图象的切点为，
由求导得，由，得，
所以直线与函数的图象的切点为，
将点代入，解得.
设直线与函数的图象的切点为，
又，则（*）.
由，代入上式得，
因为函数单调递增，且，
所以，代入（*），解得，
所以.
19．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】设切点为，得切线方程，由题意得，问题化为与有一个交点，结合导数即可求解.
【详解】设切点为，则，曲线 在点处的切线方程为，
即，由题意得，即，
令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，，
当时，,当时，,
故当或时，与有一个交点，
所以实数的取值范围是：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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