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2026年高考三轮最后阶段冲刺训练 07导数的应用（学生版）
训练要点：①利用导数研究函数的单调性；②利用导数研究函数的极值；③利用导数研究函数的最值；④利用导数研究函数的零点问题；⑤利用导数比较大小；⑥利用导数的应用求参数问题.
一、单选题
1．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖北·二模）函数的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．有三个零点 D．有三个极值点
6．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上存在三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·重庆北碚·模拟预测）圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ）
A．只有1个零点 B．有2个零点
C．， D．，
二、多选题
9．（2026·江苏盐城·三模）已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的单调递增区间为
C．的极小值为
D．若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是
10．（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（ ）
A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为
C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为
11．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ）
A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题
12．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______．
13．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______．
14．（2026·河北邢台·二模）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
15．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值．
(1)求实数的值；
(2)证明：．
16．（2026·四川宜宾·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数存在极小值点，且，求的值.
17．（2026·江苏南京·一模）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
18．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年高考三轮最后阶段冲刺训练 07导数的应用（详解版）
训练要点：①利用导数研究函数的单调性；②利用导数研究函数的极值；③利用导数研究函数的最值；④利用导数研究函数的零点问题；⑤利用导数比较大小；⑥利用导数的应用求参数问题.
一、单选题
1．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得.
【详解】当时，，
令，则恒成立，
故在上单调递增，则，
则在上单调递减，则，
又当时，，
则有，解得，
故满足的实数的取值范围是.
2．（2026·湖北·二模）函数的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当或时，可得；当时，，
所以在递增，在递减，
所以是函数的极大值点.
3．（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数，
对于选项C，，，
故是偶函数，不符合，排除C；
对于选项A，，求导得，
故在上单调递增，
不符合图像中时先增后减的趋势，排除A；
根据图像，极大值点在左侧，
对于选项B，，求导得，
令，得，
1
0
单调递增 单调递减
故的极大值点为，不符合图像，排除B.
4．（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，即，就是求范围内的最大值，利用导数法求出单调性，通过单调性求出最大值即可得解.
【详解】，，
在区间上单调递增，
在区间上恒成立，
，
在区间上恒成立，
， ，
设， ，
，，，在上单调递增，
当时，，
则在内，有，
故，故的取值范围为.
5．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．有三个零点 D．有三个极值点
【答案】A
【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可.
【详解】根据导函数图像知道：
正 0 非正 0 正
增 极大值 减 极小值 增
对于A，，单调递减，则，则A正确；
对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误；
对于C，不能确定零点个数，则C错误；
对于D，函数有两个极值点，则D错误.
故选：A．
6．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上存在三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数得到在区间上的单调性，结合零点存在定理知要使存在三个零点，需满足，解不等式即可求解.
【详解】易知，
上，，在上，在上，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，
因为函数存在三个零点，可得，即，
解得，
7．（2026·重庆北碚·模拟预测）圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示
则
易得，所以，即，所以，
所以圆柱体积
记
，得，
，单调递增
，单调递减
故
8．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ）
A．只有1个零点 B．有2个零点
C．， D．，
【答案】D
【分析】结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可.
【详解】由题意，可得，令，
则，故为常函数，设，m为常数，则，
即，则，，
那么没有零点且，故A，B，C错误；
由对任意，均有，即对任意，均有，
那么．
不等式两边同乘正数，等价于证明，
令，，令得：
时，，递减；时，，递增；
故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确.
二、多选题
9．（2026·江苏盐城·三模）已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的单调递增区间为
C．的极小值为
D．若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】求得，结合奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；求得，求得的单调区间，可判定B错误；由的单调性，结合极值的定义，求得函数的极值，进而可判定C、D都正确.
【详解】对于A，由函数，可得，其定义域为，
且，所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B，由函数，可得，
令，即，解得或；
令，即，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以B错误；
对于C，由B项知：函数在处取得极小值，极小值为，故C正确；
对于D，由B项知：函数极大值为，极小值为，
且当时，；当时，；
要使得方程恰有三个不等的实数根，
即与的图象有三个不同的交点，则满足，
所以实数的取值范围是，所以D正确.
10．（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（ ）
A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为
C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为
【答案】BC
【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，.
所以，函数的减区间为、，增区间为，
所以，函数只有两个极值点，A错，
函数的单调增区间为，B对；
对于CD选项，函数的最大值可能为，C对，
因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错.
故选：BC.
11．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ）
A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点
C．有最大值 D．有最小值
【答案】BC
【分析】图象可知，的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为，则，结合图象，利用导数判定的单调性，即可得到极值点.
【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点，
设这些点的横坐标依次为，满足，其中.
由图可知，当时，，即，
故函数在上单调递增，
当时，，即，
故函数在上单调递减，
当时，，即，
故函数在上单调递增，
当时，，即，
故函数在上单调递减.
综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值,
即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误；
因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得，
但因函数分别在时取得极大值，
故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误.
故选：BC.
三、填空题
12．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______．
【答案】2
【分析】对函数求导并结合求参数值，注意验证是否为极值点.
【详解】由题设，且，即，
此时且，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以是的极小值点，满足题设，故.
13．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出.
【详解】函数的定义域为，，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，则，
故在上单调递减，
故，故的取值范围为.
14．（2026·河北邢台·二模）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】通过换元构造同构函数，利用函数单调性脱去函数符号，将原不等式转化为恒成立问题，分离参数后求函数最小值得到的取值范围.
【详解】原不等式整理得，等价于，
令，则恒成立，所以在上单调递增.
故原不等式等价于， 由的单调性，不等式等价于，即，
故原不等式恒成立等价于对所有恒成立，变形得，即： ，
令，求导得，当时，
故在上单调递增，最小值为，所以.
又，得的取值范围是.
四、解答题
15．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值．
(1)求实数的值；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）对进行求导，令求出实数的值，再验证即可；
（2）要证，令只需要证明函数的最大值小于1即可.
【详解】（1）求导得，
又在处有极大值，，解得或，
当时，，
时，；时，，故为极大值点，符合题意，
当时，，
时，；时，，故为极小值点，不符合题意，
综上，实数的值为.
（2）由（1）得，
要证，即证对成立，
令则，
令，解得或，
令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，
所以函数的极大值为和,
且，,
即对所有成立，成立.
16．（2026·四川宜宾·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若函数存在极小值点，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（2）依题意可得，即可得到，再由得到关于的方程，结合函数的单调性，求出，即可得解.
【详解】（1）当时，定义域为，
又，
因为在上单调递增，而在上单调递减，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
所以是的极小值点，也是最小值点，
所以.
（2）函数的定义域为，
又，
因为是的极小值点，所以，即，化简得：.
又因为，代入得：，将代入得：，即，
设，则，令得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，
又因为当时，当时，，
故有唯一解为，代入得.
17．（2026·江苏南京·一模）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数；
（2）利用导数讨论单调性，得出函数的极值，再解不等式即可.
【详解】（1）设直线与曲线相切于，
因为，所以切线斜率为，
所以，则，所以切点为，
又因为切点在直线上，所以，
所以．
（2），
则．
当时，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，不满足题意；
当时，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，不满足题意；
当时，，，
所以在上单调递增，
所以不是的极值点，不满足题意；
当时，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，满足题意，
综上，的取值范围是．
18．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
【答案】(1)．
(2)．
(3)证明见解析．
【分析】（1）当时，先求和，再利用切线方程求解．
（2）先由和得到右侧差商的极限不小于，从而得到；再证明当时，利用可得，从而确定的取值范围．
（3）分别证明两个不等式和，再将两式相乘得到结论．
【详解】（1）当时，，所以.
又，所以.
故曲线在点处的切线方程为.
即.
（2）因为.
若对任意非负实数恒成立，则对任意，有.
当从正数一侧趋近于时，得.
又，所以.
从而.
下面证明当时，原不等式恒成立．
令.
则.
令.
则.
当时，，又，所以，即．
又，所以当时，，即.
因此当时，.
若，则，所以．
又，故对任意非负实数恒成立．
综上，的取值范围为.
（3）先证明.
由第（2）问中的证明可知，当时，.
所以.
再证明.
令.
则.
且.
当时，，所以．
因此.
由于，上面两个不等式右边都为正数，所以两式相乘，得.
即.
故原不等式成立．
19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增
(2)1
(3)
【分析】（1）求导后分和两种情况讨论即可；
（2）利用导数求得的单调性，进而得出最小值；
（3）参数分离得对任意恒成立，令，，利用导数讨论的单调性，求出的最小值即可解决.
【详解】（1）由题可知，
当时，，函数在上单调递增；
当时，若，，若，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，，
，因为当时，和单调递增，所以函数单调递增，
又，所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以函数的最小值为.
（3）当时，不等式恒成立，
即对任意恒成立，即对任意恒成立，
设，，，
令，，，
所以在上单调递增.
由于，，
由零点存在定理，存在，使得，即，
所以当时，，，当时，，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，所以，
令，，，即在上单调递增，
所以，即，
所以，所以，
所以，即实数的取值范围为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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