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云南省红河州2026届九年级下学期初中毕业生学业质量检测
数学试卷
一、单选题
1．刘徽在为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之．正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量．如果零上记作，那么零下可记作（ ）
A．°C B．5°C C．°C D．12°C
2．预计到2025年底，我国高铁运营里程已突破50400公里．数据50400用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．数学符号“”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所示．若，（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．为落实“五项管理”中体质管理要求，某校开展了跳绳活动．体育老师统计了某小组5名同学一分钟跳绳次数（单位：次）分别为：，，，，．这组数据的中位数是（　　）
A．159 B．160 C．165 D．166
6．下列是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．球体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥
7．七边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
8．在一节人工智能实践课上，学生利用AI设计了四个融入红河州哈尼梯田元素的图标，其中可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．要使分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．按一定规律排列的代数式：，其中第2026个代数式是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作：
①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；
③作射线．
已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．红河州近期发布“红河蓝莓”区域公用品牌战略，以“爱护眼睛，多吃云南红河蓝莓”的健康理念深入人心．某果园2023年蓝莓总产量为50吨，2025年蓝莓总产量为72吨，设该果园蓝莓总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
15．如图，扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．因式分解：_________．
17．如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____．
18．如图，若，且，则_____．
19．某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图．根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有_____名．
三、解答题
20．计算：．
21．已知：如图，平分，．求证：．
22．某生活超市用1600元购进一批饮料，进入市场后供不应求，又用2800元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的2倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价．
23．聚焦青少年红色教育，以故事为纽带、以行走为载体，让红色基因融入青春血脉．某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的爱国主义研学活动，策划了三个研学基地供学生选择：朱德旧居陈列室，张永和纪念馆，张冲故居，且每个基地被选择的可能性相等．记选择朱德旧居陈列室为A，选择张永和纪念馆为B，选择张冲故居为C，每名学生只能任意选择一个基地．记小刚的选择为，小红的选择为．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求小刚和小红选择同一基地的概率．
24．请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 在“有一种叫云南的生活．旅居云南”系列新闻发布会之“旅居红河，村长有请”文旅推广活动中，红河州迎来旅游旺季．前来旅行的游客纷纷选购具有民族特色的文创产品，其中，建水紫陶印章书签与哈尼梯田稻穗挂饰颇受甲、乙、丙三位游客的青睐．
素材1 游客具体购买记录如下表所示： 建水紫陶印章书签/份哈尼梯田稻穗挂饰/个总价/元甲3150乙1250
素材2 丙游客计划购买这两种文创共10件，且建水紫陶印章书签的数量不超过哈尼梯田稻穗挂饰数量的3倍． 请完成下列任务：
请完成下列任务：
(1)任务1：求建水紫陶印章书签和哈尼梯田稻穗挂饰的单价；
(2)任务2：丙游客选择哪种购买方案，能使购买费用最少？
25．如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
26．已知抛物线的对称轴是直线．
(1)求的值；
(2)抛物线过点，当自变量的取值范围是时，的最大值与最小值的差记为，且，求的值．
27．如图，是四边形的外接圆，为的直径，延长至点，连接，，使得，．
(1)求的度数：
(2)求证：是的切线；
(3)探究：若，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含的代数式表示：如果不是，请说明理由．
参考答案及解析
1．A
解析：解：∵正负数用于表示相反意义的量，题目规定零上记作，即零上记为正，
∴与零上意义相反的零下记为负，因此零下可记作．
2．C
解析：解：将50400转变为符合要求的，可得，满足
∵将原数变为时，小数点向左移动了4位，原数绝对值大于10，
∴
因此．
3．C
解析：解：如图，
∵，
∴，
∴．
4．B
解析：解：A、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴A错误．
B、根据合并同类项法则：同类项相加，系数相加，字母和指数不变，，∴B正确．
C、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，∴C错误．
D、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，∴D错误．
5．C
解析：解：将这组数据从小到大排序，得：，
这组数据共有个，个数为奇数，
排序后最中间位置的数，就是中位数，即．
6．B
解析：解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，
根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是正方体．
7．D
解析：（7﹣2）×180°=900°．
故选D．
8．A
解析：解：A、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，
是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，
不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，
不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，
不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
9．D
解析：解：∵分式有意义的条件为分母不等于0，
∴，
解得：．
10．C
解析：解：第一个代数式为：，即，
第二个代数式为：，即，
第三个代数式为：，即，
第四个代数式为：，即，
那么第个代数式为：，
∴第2026个代数式为：，即．
11．A
解析：解：由作图步骤可知，射线是的角平分线，
，
．
12．A
解析：解：∵，，，
∴．
故选：A．
13．C
解析：解：∵2023年蓝莓总产量为50吨，年平均增长率为
∴2024年蓝莓总产量为吨
∴2025年蓝莓总产量为吨
又∵2025年蓝莓总产量为72吨
∴可列方程为．
14．A
解析：解：与都是所对的圆周角，
，
，
．
15．D
解析：解：扇形的半径为，圆心角为，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，
该圆锥的底面圆的半径为．
16．
解析：解：，
故答案为：．
17．
解析：解：由图象可知，点的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
解得．
18．
解析：解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．600
解析：解：根据题意可知，该校学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有（名）．
20．0
解析：解：原式
．
21．见解析
解析：证明：∵平分，
，
在与中
，
，
．
22．购进第一批饮料的单价为元
解析：解：设购进第一批饮料的单价为元，则第二批饮料的单价为元，
根据题意，得，
解得，
检验： 当时，，
因此是原分式方程的解，且符合题意．
答： 购进第一批饮料的单价为4元．
23．(1)列表见解析，共9种等可能的结果
(2)
解析：（1）解：列表如下：
A B C
A
B
C
那么共有9种等可能的结果；
（2）解：从（1）可知，共有9种等可能的结果，小刚和小红选择同一基地的结果有3种，那么小刚和小红选择同一基地的概率为．
24．(1)建水紫陶印章书签单价为10元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为20元/个
(2)购买建水紫陶印章书签7份，哈尼梯田稻穗挂饰3个时，购买费用最少
解析：（1）解 ：设建水紫陶印章书签单价为元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为元/个．
根据题意得，
解得，
答：建水紫陶印章书签单价为10元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为20元/个．
（2）解：设购买建水紫陶印章书签份，总费用为元，则购买哈尼梯田稻穗挂饰个，
其中为非负整数，且 ．
根据题意得 ，
解得 ，
∴的取值范围为 ，且为整数，
总费用 ，
∵，
∴随的增大而减小．
∴当取最大值7时，取得最小值，
此时．
答：购买建水紫陶印章书签7份，哈尼梯田稻穗挂饰3个时，购买费用最少．
25．(1)见详解
(2)
解析：（1）证明：∵，，
∴是平行四边形，
∵在中，，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：的周长为的周长为，
∴，，
∴，
三角形的面积为：，
∴，
所以四边形的面积：，
∴
∴
∴．
26．(1)
(2)或
解析：（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：抛物线的解析式为，
∴把点代入得：，则有，
∴，
，
∴
；
①当时，即，当时，y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴（不符合题意，舍去）；
②当时，当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴（不符合题意，舍去）；
③当时，即，此时，
若，则时，此时，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
若，即，此时，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：m的值为或．
27．(1)
(2)见解析
(3)是定值，定值为
解析：（1）解：∵为的直径，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴；
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（3）解：是定值，定值为，理由如下：
连接，不妨设，由题意可知，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∵是直径，
∴，
∴，
∴．

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