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第十三章 立体几何初步
13.2.3.1 直线与平面平行
1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题；
2.理解并掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用性质定理证明一些简单的问题.
情境：观察教室两墙面的交线与地面的关系，横梁和天花板的交线与地面的关系，墙面和底面的交线与地面的关系，说说直线与平面可能存在哪几种位置关系？
直线与平面的位置关系
问题 1：一扇门的两边是平行的，当门绕着一边转动时，另一边与门框所在的墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？
如图，在门扇的旋转过程中：
直线 a 在门框所在的平面 α 外，
直线 b 在门框所在的平面 α 内，
直线 a 与 b 始终平行；
推出：直线 a 与平面 α 平行.
没有公共点，因此平行；
α
a
b
直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
a
b
α
简述：线线平行，则线面平行；
作用：证明线面平行；
关键：在平面内找到一条直线与平面外的直线平行.
三个条件缺一不可
符号表示：
∥
∥
例1：如图，已知 E，F 分别是三棱锥 A-BCD 的侧棱 AB，AD 的中点.
求证：EF∥平面 BCD．
分析：设法在平面 BCD 内找一条直线与 EF 平行.
证明：
AE = EB
AF = FD
EF∥BD
EF 平面 BCD
BD 平面 BCD
EF∥平面 BCD.
线线平行 线面平行
问题2：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线是否和这个平面内的所有直线都平行？
a
b
α
平行
a
α
b
异面
思考：什么条件下，平面 α 内的直线与直线 a 平行？
若“共面”必平行，若过直线 a 的某平面与平面相交，则直线 a 就和这条交线平行.
问题 3：已知 l∥α，l β，α∩β = m，求证：l∥m.
证明：
l∥α l 与 α 无公共点
m α
l 与 m 无公共点
l，m β
l∥m.
直线与平面平行的性质定理：
一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

b
a

符号表示：
简记：线面平行，则线线平行；
作用：判定直线与直线平行的重要依据；
关键：寻找平面与平面的交线.
三个条件缺一不可

例2：一块木料中，棱 BC 平行于面 A'C'.
（1）要经过面 A'C' 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线与平面 AC 是什么位置关系？
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
P
解：（1）在平面 A′C′ 内，过点 P 作直线 EF，使 EF∥B′C′，并分别交棱 A′B′，D′C′ 于点 E，F，
连接 BE，CF，则 EF，BE，CF 就是应画的线．（直线与平面平行的性质定理）.
E
F
BE，CF 都与平面 AC 相交．
（2）∵BC∥平面A′C′， BC 平面BC′，
平面BC′∩平面A′C′＝B′C′，∴BC∥B′C′．
由（1）知EF∥B′C′，∴EF∥BC．
（2）所画的线与平面 AC 是什么位置关系？
EF∥BC
EF 平面AC
BC 平面AC
EF∥平面AC.

B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
P
E
F
方法归纳：运用线面平行的性质定理时，应该先确定线面平行，在寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.
例3：证明：如果三个平面两两相交，并且三条交线中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行．
已知：平面 α，β，γ，α∩β = l，α∩γ = m，β∩γ = n，且 l∥m.
求证：n∥l， n∥m .
证明：
同理，n∥m .
知识框图：
直线与平面平行
性质定理
自然语言
图形语言
作用
符号语言
判定定理
自然语言
图形语言
作用
符号语言

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