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第十三章 立体几何初步
13.1.3 直观图的斜二测画法
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.
情境：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
一个物体的投影不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关；如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形，如上图.
这是矩形的直观图
何为直观图？
直观图是观察者站在某一点观察一个空间图形获得的图形.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.
思考：如何利用斜二测画法画出水平放置的平面图形直观图呢？
已知图形
直观图
画轴，横不变，纵减半，平行重合不改变
问题1：试着画出水平放置的正方形的直观图？
斜二测画法画出水平放置的平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的 x 轴与 y 轴，两轴相交于点 O.
画直观图时，把它们画成对应的 x′ 轴与 y′ 轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′ = 45°(或135°)，他们确定的平面表示水平面；
（2）已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′ 轴或 y′ 轴的线段；
（3）已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
例1：用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图.
画法：
如图（1）所示，建立直角坐标系 x′O′y′；
如图（2）所示，画出坐标系 x′O′y′，在 x′ 轴上取 A′D′ = AD，在 y′ 轴上取
如图（3）所示，分别以G′、H′为中心，画B′C′、F′E′ 平行 x′轴，且 B′C′ = BC，F′E′ = FE；
如图（4）（5）所示，连接 A′B′、C′D′、D′E′、F′A′，并擦去辅助线 x′ 轴和 y′ 轴，便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A′B′C′D′E′F′.
拓展：画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.（实际画图时常用如图所示的椭圆模板）
例2：用斜二测画法画正五棱锥的直观图.
解：（1）根据平面图形的直观图画法画底面.
（3）连线成图，擦去辅助线，且将被遮线画成虚线，就得到正五棱锥的直观图 S'-A'B'C'D'E'.
（2）画 z' 轴 (z' 轴与 x' 轴的交角为 90°)，并画高(与原长相等).
斜二测画法主要用于画多面体的直观图的具体步骤：
（1）画轴：使∠x'O'y' = 45°(或 135°)，∠x'O'z' = 90°；
（2）画底面：平行于 x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，在直观图中为原长度的一半；
（3）画侧棱：平行于 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变；
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
例3：如图是底面边长为 3 cm、高为 6.5 cm 的正六棱锥的直观图，请指出底面 ABCDEF、对角面 SFC、侧面 SFE 的真实形状，并画出相应的图形.
解：底面 ABCDEF 是边长为 3 cm 的正六边形.
设点 O 是底面 ABCDEF 的中心，在 Rt△SOC 中，可知 OC = 3 cm，SO = 6.5 cm，则
于是对角面 SFC 是两腰长约为 7.16 cm，底边长为 6 cm的等腰三角形，侧面 SFE 是两腰长约为 7.16 cm，底边长为 3 cm 的等腰三角形.
它们的形状如图所示.
练一练：某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.
（1）想一想这个空间图形的形状，说说现实生活中有这种形状的实物吗？
（2）请画出这个空间图形的直观图．
蒙古包
（1）
（2）分析：由图可知，该空间图形可以近似看成是由一个圆柱和一个圆锥组成的，所以在画直观图时，只需分别画出圆柱和圆锥的直观图，再进行组合即可.
（2）先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到该空间图形的直观图（如图）
x
y
z
o
A
B
A
B
O
O
P
注意：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单空间图形以及它们的组合方式，然后再画直观图．
画轴——画底面——画侧棱——连线成图
口诀：横竖不变纵减半，平行性不变
口诀：横不变纵减半，平行性不变
水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：
画轴取轴——取点——连线成图
空间图形直观图
斜二测画法步骤：

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